Question

Доказать, что четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если A(2;4;-4), B(1;1;-3), C(-2;0;5), D(-1;3;4)

Answer 1

Решение в 2 строчки
дальше - обозначения -это векторы
 находим соответствующие векторы

AB=(-1;-3;1)  DC=(-1;-3;1)
BC=(-3;-1;8)  AD=(-3;-1;8)
как видим, они попарно равны, попарно параллельны. Соответственно данная фигура- параллелограмм

Answer 2

AB=√(1-2)²+(1-4)²+(-3+4)²=√(1+9+1)=√11
CD=√(-1+2)²+(3-0)²+(4-5)²=√(1+9+1)=√11
AB=CD
BC=√(-2-1)²+(0-1)²+(5+3)²=√(9+1+64)=√74
AD=√(-1-2)²+(3-4)²+(4+4)²=√(9+1+64)=√74
BC=AD
cos(ABΛCD)=(-1-9-1)/√11*√11=-11/11=-1⇒ABΛCD=180⇒AB||CD
cos(BCΛAD)=(9+1+64)/√74*√74=74/74=1⇒BCΛAD=0⇒BC||AD
ABCD-параллелограмм

Answer 3

Чтобы доказать, что четырехугольник ABCD является параллелограммом, нам нужно проверить два условия:

1. Противоположные стороны параллельны: Для этого мы можем использовать векторное произведение двух векторов, чтобы проверить, что они коллинеарны.

2. Противоположные стороны равны: Для этого мы можем использовать расстояние между двумя точками, чтобы проверить, что они равны.

Давайте проверим оба эти условия для четырехугольника ABCD, где A(2;4;-4), B(1;1;-3), C(-2;0;5) и D(-1;3;4).

Проверка условия 1: Противоположные стороны параллельны

Чтобы проверить, что противоположные стороны параллельны, мы можем использовать векторное произведение двух векторов. Если векторное произведение равно нулю, это означает, что векторы коллинеарны и стороны параллельны.

Вектор AB = B - A = (1-2, 1-4, -3-(-4)) = (-1, -3, 1)

Вектор CD = D - C = (-1-(-2), 3-0, 4-5) = (1, 3, -1)

Вычислим векторное произведение этих двух векторов:

AB x CD = (-1, -3, 1) x (1, 3, -1)

AB x CD = ((-3 * -1) - (1 * 3), (-1 * 1) - (1 * -1), (-1 * 3) - (-3 * 1))

AB x CD = (0, 0, 0)

Векторное произведение AB x CD равно нулю, что означает, что противоположные стороны AB и CD параллельны.

Проверка условия 2: Противоположные стороны равны

Чтобы проверить, что противоположные стороны равны, мы можем использовать расстояние между двумя точками. Если расстояние между соответствующими точками равно, то стороны равны.

Расстояние между точками A и B:

AB = sqrt((1-2)^2 + (1-4)^2 + (-3-(-4))^2) = sqrt(1 + 9 + 1) = sqrt(11)

Расстояние между точками C и D:

CD = sqrt((-1-(-2))^2 + (3-0)^2 + (4-5)^2) = sqrt(1 + 9 + 1) = sqrt(11)

Расстояние AB равно расстоянию CD, что означает, что противоположные стороны AB и CD равны.

Вывод

Мы проверили оба условия и обнаружили, что противоположные стороны AB и CD параллельны и равны. Следовательно, четырехугольник ABCD является параллелограммом.