Question

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 8 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Answer 1

АВ,ВС и АС - касательные к окружности.
Касательные перпендикулярны радиусу, проведенному в точку касания.
OE⊥AB; OM⊥BC; OK⊥AC

OE=OM=OK=r=7
MF=MO+OF=7+8=15

По свойству касательных к окружности, проведенных из одной точки
BE=BM
CM=CK
AE=AK

По теореме Пифагора из Δ AOE
АЕ²=AO²-OE²
AE²=25²-7²
AE²=625-49
AE²=576
AE=24
AK=AE=24

Пусть BM=BE=x, CM=CK=y.

Тогда
Р( Δ АВС)= АВ+ВС+АС= (24+х)+(х+у)+(у+24)=2*(x+y+24)
S( Δ ABC)=p·r=(x+y+24)·7
S(параллелограмма)=ВС·MF=(x+y)·15

S(параллелограмма)=2·S( Δ ABC)

Уравнение:
(х+у)·15=2·(х+у+24)·7
х+у=336

ВС=х+у=336

S(параллелограмма)=(х+у)·15=336·15=5040
О т в е т.  5040 кв ед

Answer 2

Для решения этой задачи давайте введем обозначения:

- \(AB = a\), \(BC = b\), \(CD = c\), \(DA = d\) (стороны параллелограмма). - \(AC = e\) (длина диагонали, которая также является высотой треугольника ABC). - \(r\) - радиус вписанной окружности в треугольник ABC.

Из условия задачи известны расстояния от центра окружности \(O\) до точек \(A\), \(AD\), и \(AC\): \(OA = 25\), \(OD = 8\), \(OC = 7\).

Также известно, что точка \(O\) - центр вписанной окружности в треугольник ABC, поэтому:

1. Расстояние от центра окружности до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности. Таким образом, мы можем записать следующие уравнения: - \(OA = r\), - \(OD = r\), - \(OC = r\).

2. Сумма расстояний от точки \(O\) до сторон треугольника равна длине диагонали \(AC\): \[OA + OD + OC = e.\]

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить.

\[ \begin{cases} OA = r, \\ OD = r, \\ OC = r, \\ OA + OD + OC = e. \end{cases} \]

Решив эту систему, мы найдем значение радиуса вписанной окружности \(r\).

После нахождения \(r\) мы можем использовать формулу для площади треугольника ABC:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot e \cdot (a + b + c). \]

И, наконец, площадь параллелограмма равна удвоенной площади треугольника ABC:

\[ S_{ABCD} = 2 \cdot S_{ABC}. \]

Таким образом, шаги решения задачи:

1. Решить систему уравнений для нахождения радиуса вписанной окружности. 2. Используя найденное значение радиуса, вычислить площадь треугольника ABC. 3. Удвоить площадь треугольника, чтобы получить площадь параллелограмма ABCD.