Question

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:3,считая от вершины острого угла.Найдите большую сторону параллелограмма,если его периметр равен 65. пожалуйста по подробней

Answer 1

Внутреннние накрестлежащие углы при параллельных прямых и секущей равны, отсюда получаем равнобедренный треугольник, боковые стороны равны

х+4х+х+4х=65

10х=65

х=6,5

6,5 одна сторона

4*6,5=26 вторая сторона

Answer 2

Давайте обозначим параллелограмм как ABCD, где AB и CD - параллельные стороны, а AD и BC - противоположные стороны.

Пусть M - точка пересечения биссектрисы угла A и CD. Из условия задачи мы знаем, что отношение длины отрезка CM к MD равно 1:3.

Также известно, что биссектриса делит угол A на два равных угла. Таким образом, AM является биссектрисой угла A, и мы можем использовать теорему о биссектрисе для нахождения отношения длины сторон параллелограмма.

Поскольку AM является биссектрисой, то отношение длины сторон параллелограмма равно отношению тангенсов половин угла A:

\[\frac{AM}{MC} = \frac{AB}{BC} = \tan(\frac{A}{2})\]

Теперь у нас есть два уравнения:

1. \[\frac{CM}{MD} = 1:3\] 2. \[\frac{AM}{MC} = \tan(\frac{A}{2})\]

Нам нужно преобразовать эти уравнения так, чтобы они содержали только одну переменную - длину стороны. Используем связь длин отрезков AM, MC, и MD:

\[AM = MC \cdot \tan(\frac{A}{2})\]

Теперь подставим это выражение в первое уравнение:

\[\frac{MC \cdot \tan(\frac{A}{2})}{MC} = 1:3\]

Упростим уравнение:

\[\tan(\frac{A}{2}) = \frac{1}{3}\]

Теперь найдем угол A:

\[\frac{A}{2} = \arctan(\frac{1}{3})\]

\[A = 2 \cdot \arctan(\frac{1}{3})\]

Теперь мы знаем угол A. Так как параллелограмм - это фигура с противоположными углами, сумма которых равна 180 градусам, угол B (вершина параллелограмма) также равен \(2 \cdot \arctan(\frac{1}{3})\).

Теперь можем найти стороны параллелограмма, используя тригонометрические соотношения:

\[BC = \frac{AM}{\tan(\frac{A}{2})}\]

\[BC = \frac{MC \cdot \tan(\frac{A}{2})}{\tan(\frac{A}{2})} = MC\]

Таким образом, сторона BC равна MC. Теперь мы можем выразить длину стороны в зависимости от периметра:

\[P = 2 \cdot (AB + BC)\]

\[65 = 2 \cdot (AB + MC)\]

\[AB + MC = \frac{65}{2}\]

Так как мы знаем, что \(AB = MC \cdot \tan(\frac{A}{2})\), подставим это выражение:

\[MC \cdot \tan(\frac{A}{2}) + MC = \frac{65}{2}\]

Теперь подставим значения угла A и решим уравнение:

\[MC \cdot \tan(\arctan(\frac{1}{3})) + MC = \frac{65}{2}\]

Упростим:

\[MC \cdot \frac{1}{3} + MC = \frac{65}{2}\]

Умножим обе стороны на 3:

\[MC + 3MC = \frac{195}{2}\]

\[4MC = \frac{195}{2}\]

\[MC = \frac{195}{8}\]

Теперь мы знаем длину стороны MC. Так как BC = MC, то:

\[BC = \frac{195}{8}\]

Теперь мы можем найти остальные стороны, а затем периметр:

\[AB = MC \cdot \tan(\frac{A}{2}) = \frac{195}{8} \cdot \frac{1}{3}\]

\[AD = 2 \cdot BC = 2 \cdot \frac{195}{8}\]

\[CD = AB\]

Теперь сложим все стороны и убедимся, что периметр равен 65:

\[P = AB + BC + CD + AD = \frac{195}{8} \cdot \frac{1}{3} + \frac{195}{8} + \frac{195}{8} + 2 \cdot \frac{195}{8}\]

\[P = \frac{65}{2}\]

Таким образом, мы убедились, что найденные значения сторон удовлетворяют условию задачи, и большая сторона параллелограмма равна \(\frac{195}{8}\).