Question

Точки А1, B1 и С1 симметричны центру I вписанной в треугольник АВС окружности относительно его сторон ВС, АС и АВ соответственно. Окружность, описанная около треугольника А1В1С1, проходит через точку А. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника АВС, если ВС = а.

Answer 1

В тр-ке АIС1имеем AI=C1I, значит он равнобедренный и угол IC1A=углу С1AI; в нем же АВ - медиана, перпендикулярная стороне C1I, значит тр-к С1АI - тоже равнобедренный (углы IC1A=AIC1). Итак, в тр-ке АIC1 все углы равны по 60.

В тр-ке АВС АI - биссектриса, так как центр I вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Значит угол ВАI = IAC и угол ВАС = 60. В тр-ке АВС по теореме синусов 2R=BC/SinA, то есть R = a/2Sin60 = a/(2*√3/2) = a/√3;

Answer 2

О - центр окружности - точнее, обеих окружностей, заданных в задаче (ясно, что точки А1 В1 С1 равноудалены от центра вписанной окружности, то есть окружность, вписанная в АВС и окружность, описанная вокруг А1В1С1 - и проходящая через А - имеют общий центр).

В треугольнике АС1О стороны ОС1 и ОА равны, и - кроме того, медиана АВ перпендикулярна стороне ОС1. То есть АС1О -  равносторонний треугольник.

Аналогично и АВ1О - равносторонний треугольник, но уже и без того ясно, что угол ВАО = 30 градусам, а угол САВ = 60 градусам.

Отсюда по теореме синусов 2Rsin(60°) = a; R = a/√3;

Answer 3

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства вписанных и описанных окружностей в треугольниках.

Свойства вписанных окружностей:

1. Вписанная окружность треугольника касается каждой из его сторон в точке соприкосновения. 2. Линия, соединяющая центр вписанной окружности с вершиной треугольника, перпендикулярна к стороне треугольника.

Свойства описанных окружностей:

1. Описанная окружность треугольника проходит через все вершины треугольника. 2. Линия, соединяющая центр описанной окружности с серединой стороны треугольника, перпендикулярна к этой стороне.

Решение:

По условию задачи, точки A1, B1 и C1 являются симметричными центру I вписанной в треугольник ABC окружности относительно его сторон BC, AC и AB соответственно. Таким образом, у нас есть следующая схема:

      A
     / \
    /   \
   /     \
 C1-------B1
  \       /
   \     /
    \   /
     \ /
      I
      |
      |
      A1

Из свойств вписанных окружностей следует, что линия AI является перпендикуляром к стороне BC, линия BI является перпендикуляром к стороне AC и линия CI является перпендикуляром к стороне AB.

Также из условия задачи известно, что окружность, описанная около треугольника A1B1C1, проходит через точку A.

Используем свойства описанных окружностей. Из пункта 2 следует, что линия, соединяющая центр описанной окружности с серединой стороны BC, перпендикулярна к стороне BC. Обозначим эту середину стороны BC как M. Тогда линия MI будет перпендикулярна к стороне BC.

Таким образом, у нас получается следующая схема:

      A
     / \
    /   \
   /     \
 C1-------B1
  \       /
   \     /
    \   /
     \ /
      I
      |
      |
      A1
       \
        \
         \
          M

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник AMI с прямым углом в точке M. Зная сторону BC и середину стороны BC (точку M), мы можем найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Радиус описанной окружности можно найти с помощью формулы:

Радиус описанной окружности = (Сторона треугольника * √2) / 2

В данном случае сторона треугольника BC равна а, поэтому радиус описанной окружности равен:

Радиус описанной окружности = (a * √2) / 2

Таким образом, радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен (a * √2) / 2.

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном решении предполагается, что треугольник ABC является прямоугольным и точка A лежит на гипотенузе. Если это не так, решение может отличаться.