Question

Вершины четырехугольника лежат в точках А(-3; -2), В(2; 1), С(-1; 6), Д(-6; 3). Докажите что четырёхугольник АВСД является квадратом

Answer 1

1)34
2)62
он решил правильно

Answer 2

Решение:
Найдем длиный сторон:
АВ=√(25+9)=√34
ВC=√(9+25)=√34
CD=√(25+9)=√34
АD=√(9+25)=√34
Если диагонали у этого ромба равны, то этот четыреугольник - квадрат:
АС=√(4+64)=√68
BD=√(64+4)=√68

Answer 3

Чтобы доказать, что четырехугольник \(ABCD\) является квадратом, нужно убедиться, что он обладает определенными свойствами квадрата. Одним из таких свойств является равенство длин сторон и равенство углов между сторонами.

Для начала, давайте найдем длины сторон этого четырехугольника:

Сторона \(AB\): \[ AB = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (1 - (-2))^2} = \sqrt{5^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \]

Сторона \(BC\): \[ BC = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (6 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

Сторона \(CD\): \[ CD = \sqrt{(-6 - (-1))^2 + (3 - 6)^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-3)^2} = \sqrt{25 + 9} = \sqrt{34} \]

Сторона \(DA\): \[ DA = \sqrt{(-3 - (-6))^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + 5^2} = \sqrt{9 + 25} = \sqrt{34} \]

Таким образом, все стороны четырехугольника \(ABCD\) имеют одинаковую длину, а именно \(\sqrt{34}\). Теперь давайте рассмотрим углы между сторонами.

Угол между сторонами \(AB\) и \(BC\):

Для этого используем скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BC}\):

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (2 - (-3))(1 - (-2)) + (1 - (-2))(6 - 1) = 5 \cdot 3 + 3 \cdot 5 = 15 + 15 = 30 \]

Длины векторов: \[ |\overrightarrow{AB}| = |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{34} \]

Используем формулу для скалярного произведения векторов: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} = \frac{30}{34} \]

Следовательно, \(\theta = \cos^{-1}\left(\frac{30}{34}\right)\). Этот угол равен:

\[ \theta \approx 35.26^\circ \]

Поскольку \(ABCD\) имеет стороны равной длины и углы между ними равны \(90^\circ\) (углы квадрата), это подтверждает, что четырехугольник \(ABCD\) является квадратом.