Question

Помогите с геометрией, пожалуйста. Даны точки: А (1;1), В (3;5), С (9;-1) Д (7;-5) Найдите длинну векторов АВ и СД. Расстояние между точками А и С, В и Д. Координаты точки О - середины АВ Запишите уравнение окружности с диаметром АВ Запишите уравнение прямой ВД

Answer 1

АВ(2;4); СД(-2;-4)
АВ=корень20; СД=корень 20
АС=корень68; ВД=корень116
О(1;2)
(х-1)^2+(у-2)^2=5
В(3;5) Д(7;-5)
х-3/4=у-5/-10
-10х+30=4у-20
4у+10х=-50
2у+5х=-25

Answer 2

Давайте решим задачу поэтапно:

1. Найдем длину векторов \( \vec{AB} \) и \( \vec{CD} \). 2. Рассчитаем расстояние между точками \( A \) и \( C \), а также между точками \( B \) и \( D \). 3. Найдем координаты точки \( O \), которая является серединой отрезка \( AB \). 4. Запишем уравнение окружности с диаметром \( AB \). 5. Запишем уравнение прямой \( BD \).

1. Длина вектора \( \vec{AB} \): \[ \vec{AB} = \langle x_B - x_A, y_B - y_A \rangle \] \[ \vec{AB} = \langle 3 - 1, 5 - 1 \rangle = \langle 2, 4 \rangle \] \[ |\vec{AB}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} \]

Таким образом, длина вектора \( \vec{AB} \) равна \( \sqrt{20} \).

Аналогично, найдем длину вектора \( \vec{CD} \): \[ \vec{CD} = \langle x_D - x_C, y_D - y_C \rangle \] \[ \vec{CD} = \langle 7 - 9, (-5) - (-1) \rangle = \langle -2, -4 \rangle \] \[ |\vec{CD}| = \sqrt{(-2)^2 + (-4)^2} = \sqrt{20} \]

Таким образом, длина вектора \( \vec{CD} \) также равна \( \sqrt{20} \).

2. Расстояние между точками \( A \) и \( C \), а также между точками \( B \) и \( D \): - Расстояние между двумя точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \) на плоскости вычисляется по формуле: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

- Расстояние между точками \( A \) и \( C \): \[ d_{AC} = \sqrt{(9 - 1)^2 + ((-1) - 1)^2} = \sqrt{8^2 + (-2)^2} = \sqrt{68} \]

- Расстояние между точками \( B \) и \( D \): \[ d_{BD} = \sqrt{(7 - 3)^2 + ((-5) - 5)^2} = \sqrt{4^2 + (-10)^2} = \sqrt{116} \]

3. Координаты точки \( O \) - середины отрезка \( AB \): - Формулы для нахождения координат середины отрезка между двуми точками \( (x_1, y_1) \) и \( (x_2, y_2) \): \[ x_O = \frac{x_1 + x_2}{2} \] \[ y_O = \frac{y_1 + y_2}{2} \]

- Координаты точки \( O \): \[ x_O = \frac{1 + 3}{2} = 2 \] \[ y_O = \frac{1 + 5}{2} = 3 \]

Таким образом, координаты точки \( O \) равны \( (2, 3) \).

4. Уравнение окружности с диаметром \( AB \): - Для уравнения окружности с центром в точке \( O \) и радиусом \( r \) формула следующая: \[ (x - x_O)^2 + (y - y_O)^2 = r^2 \] - Радиус \( r \) равен половине длины отрезка \( AB \), т.е., \( \frac{\sqrt{20}}{2} = \sqrt{5} \).

- Уравнение окружности: \[ (x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 5 \]

5. Уравнение прямой \( BD \): - Уравнение прямой можно записать в виде \( y = mx + b \), где \( m \) - угловой коэффициент, \( b \) - y-перехват. - Угловой коэффициент \( m \) вычисляется по формуле \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \). - Подставим координаты точек \( B \) и \( D \): \[ m = \frac{(-5) - 5}{7 - 3} = \frac{(-10)}{4} = -\frac{5}{2} \] - Теперь используем координаты точки \( B \) для нахождения \( b \): \[ y = mx + b \Rightarrow 5 = -\frac{5}{2} \cdot 3 + b \] \[ b = 5 + \frac{15}{2} = \frac{25}{2} \]

- Таким образом, уравнение прямой \( BD \): \[ y = -\frac{5}{2}x + \frac{25}{2} \]

Это и есть ответы на все вопросы по задаче. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!