Question

Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Answer 1

Задача решена в учебнике п.19 стр 31

Answer 2

Доказательство:

Пусть у нас есть треугольник ABC, в который вписана окружность. Пусть центр этой окружности обозначается как O.

Предположим, что через центр O проведена прямая l, которая перпендикулярна плоскости треугольника ABC. Мы хотим доказать, что каждая точка на этой прямой равноудалена от сторон треугольника.

Пусть точка X на прямой l проходит через отрезок AB. Мы хотим показать, что расстояние от точки X до стороны BC равно расстоянию от точки X до стороны CA.

Поскольку точка X лежит на прямой, перпендикулярной плоскости треугольника, линия, соединяющая точку X и центр окружности O, будет перпендикулярна касательной к окружности в точке X. Это означает, что отрезок XO будет радиусом окружности.

Теперь рассмотрим треугольники XOB и XOC. Они имеют общую сторону XO и равные углы при вершине X (поскольку они являются прямыми углами). Кроме того, у них есть равные стороны XB и XC, так как они являются радиусами окружности.

Следовательно, треугольники XOB и XOC равны по двум сторонам и углу между ними (по стороне-стороне-угол).

Из равенства этих треугольников следует, что угол BXC также равен прямому углу, так как он соответствует углу в вершине X.

Таким образом, треугольник BXC является прямоугольным треугольником с прямым углом в вершине X. Это означает, что отрезок XC является высотой треугольника BXC и, следовательно, является кратчайшим расстоянием от точки X до стороны BC.

Аналогичные рассуждения могут быть применены к другим сторонам треугольника ABC. Таким образом, мы можем заключить, что каждая точка на прямой, проходящей через центр вписанной окружности и перпендикулярной плоскости треугольника, равноудалена от сторон треугольника.

Это доказывает утверждение.