Question

Дано: треугольник PQR и ABC; PQ=16cm, QR=20cm, PR=28cm, AB=12cm, BC=15cm, AC=21cm. Найти отношение площадей тр-ков PQR и ABC

Answer 1

Эти треугольники подобны.

 

PQ:AB=QR:BC=PR;AC=4:3

 

Коэффициент их подобия k=4/3

Площади подобных фигур ( не только треугольников) отностятся как квадраты коэффициента их подобия.  

 

S₁ :S₂=k²=(4/3)²=16:9

Answer 2

Чтобы найти отношение площадей треугольников PQR и ABC, мы можем воспользоваться формулой для площади треугольника по его сторонам. Эта формула называется формулой Герона.

Пусть \( p \), \( q \), \( r \) - половины периметров треугольников PQR и ABC соответственно.

Для треугольника PQR:

\[ p = \frac{PQ + QR + PR}{2} \] \[ p = \frac{16 + 20 + 28}{2} = 32 \]

\[ S_{PQR} = \sqrt{p(p-PQ)(p-QR)(p-PR)} \] \[ S_{PQR} = \sqrt{32 \cdot 16 \cdot 12 \cdot 4} = \sqrt{2^5 \cdot 2^4 \cdot 3 \cdot 2^2} = 8 \cdot 4 \cdot 2 \sqrt{3} = 64\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Теперь для треугольника ABC:

\[ r = \frac{AB + BC + AC}{2} \] \[ r = \frac{12 + 15 + 21}{2} = 24 \]

\[ S_{ABC} = \sqrt{r(r-AB)(r-BC)(r-AC)} \] \[ S_{ABC} = \sqrt{24 \cdot 12 \cdot 9 \cdot 3} = \sqrt{2^3 \cdot 2^2 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 2^2 \cdot 3} = 12 \cdot 3 \cdot 3 \sqrt{2} = 108\sqrt{2} \, \text{см}^2 \]

Теперь мы можем найти отношение площадей:

\[ \frac{S_{PQR}}{S_{ABC}} = \frac{64\sqrt{3}}{108\sqrt{2}} \]

Мы можем упростить это отношение, поделив числитель и знаменатель на их наибольший общий множитель (НОД). В данном случае НОД равен \(4\):

\[ \frac{S_{PQR}}{S_{ABC}} = \frac{16\sqrt{3}}{27\sqrt{2}} \]

Это и есть окончательное отношение площадей треугольников PQR и ABC.