Question

Диагональ осевого сечения цилиндра равна 8 см и образует с плоскостью основания цилиндра угол 30(градусов). найти высоту цилиндра и площадь его основания

Answer 1

Катет лежащий напротив угла в 30 градусов равен половине гипотенузы
=> высота будет равна 4
А диаметр основания можно найти по теореме Пифагора    
=>    R= 8^2 - 4^2= √48 = √4*4*3 = 4√3       Диаметр = 4√3    Радиус = d/2
Площадь основания =>   S=pi*d^2/4      или через радиус     S=pi*R^2
S=12pi
Ответ: S основания = 12pi,   высота = 4

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать геометрические свойства цилиндра и тригонометрию. Пусть \(h\) - высота цилиндра, \(r\) - радиус его основания, \(\alpha\) - угол между диагональю осевого сечения и плоскостью основания.

1. Связь диагонали с высотой и радиусом:

Из условия задачи мы знаем, что диагональ \(d\) (в данном случае 8 см) связана с высотой \(h\) и радиусом \(r\) следующим образом:

\[d = \sqrt{h^2 + r^2}\]

2. Связь угла с высотой и радиусом:

Также нам дан угол \(\alpha\) между диагональю и плоскостью основания. Этот угол связан с высотой и радиусом через тангенс:

\[\tan{\alpha} = \frac{h}{r}\]

По условию задачи \(\alpha = 30^\circ\), поэтому:

\[\tan{30^\circ} = \frac{h}{r}\]

3. Находим высоту \(h\):

Решим уравнение для высоты \(h\):

\[\tan{30^\circ} = \frac{h}{r}\]

\[h = r \cdot \tan{30^\circ}\]

Так как \(\tan{30^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}\):

\[h = r \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}\]

4. Подставляем в уравнение для диагонали:

Теперь, когда у нас есть выражение для высоты \(h\), подставим его в уравнение для диагонали:

\[d = \sqrt{h^2 + r^2} = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{3} \cdot r\right)^2 + r^2}\]

Упростим это уравнение:

\[8 = \sqrt{\frac{1}{3} \cdot r^2 + r^2} = \sqrt{\frac{4}{3} \cdot r^2}\]

Теперь избавимся от корня, возвести обе стороны уравнения в квадрат:

\[64 = \frac{4}{3} \cdot r^2\]

Упростим:

\[48 = r^2\]

\[r = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\]

5. Находим площадь основания \(S\):

Площадь основания цилиндра \(S\) вычисляется по формуле \(S = \pi r^2\). Подставим значение радиуса:

\[S = \pi \cdot (4\sqrt{3})^2 = 48\pi\]

Таким образом, высота цилиндра равна \(h = \frac{\sqrt{3}}{3} \cdot r\), где \(r = 4\sqrt{3}\), и площадь его основания \(S = 48\pi\).