Question

Ab=7 ,ac=7 корень из трех см,угол cad =30 гр,ас диагональ. Найти углы трапеций

Answer 1

∠ВСА=∠САD - внутренние накрест лежащие при параллельных ВС и AD и секущей АС.

По теореме косинусов из треугольника АВС
АВ²=BC²+AC²-2·BC·AC·cos∠BCA
Пусть ВС=х
7²=x²+(7√3)²-2·x·7√3·(√3/2)
x²-21x+98=0
D=(-21)²-4·98=441-392=49
x=(21-7)/2=7       или      х=(21+7)/2=14

Если ВС=7, то треугольник АВС - равнобедренный АВ=ВС=7 и 
∠ВАС=ВСА=30°
Тогда ∠A=60°     ∠B=180°-60°=120° ( cумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°)

Если BC=14, то треугольник АВС - прямоугольный, так как 
АВ²+АС²=ВС²
7²+(7√3)²=14²
49+49·3=49·4  - верно
∠ВАС=90°
∠А=∠ВАС+∠СAD=90°+30°=120°
∠B=180°-120°=60°( cумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции равна 180°)
Ответ. ∠А=60°; ∠В=120°    или    ∠А=120°; ∠В=60°

Углы С и D невозможно найти
Можно ответить на вопрос задачи только в том случае, если трапеция равнобедренная.
Тогда углы трапеции

 60°;120°;60°; 120°.

Answer 2

Из условия задачи у нас есть треугольник ABC, в котором сторона AB равна 7, сторона AC равна \(7\sqrt{3}\) см, а угол CAD равен 30 градусам. Также дано, что AC является диагональю трапеции ABCD.

Давайте обозначим стороны трапеции следующим образом:

AB = a BC = b CD = c AD = d

Так как угол CAD равен 30 градусам, то угол BAC (аналогичный угол в другом треугольнике) также равен 30 градусам, так как треугольник ABC - равносторонний.

Теперь рассмотрим треугольник ACD. У нас есть две стороны этого треугольника: AC и AD. Чтобы найти угол ADC (который равен углу ABC), мы можем использовать закон косинусов.

\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 \cdot AD \cdot CD \cdot \cos(\angle ADC) \]

Подставим известные значения:

\[ (7\sqrt{3})^2 = 7^2 + c^2 - 2 \cdot 7 \cdot c \cdot \cos(30^\circ) \]

Упростим это уравнение:

\[ 63 = 49 + c^2 - 14c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] \[ 14 = c^2 - 7c\sqrt{3} \] \[ c^2 - 7c\sqrt{3} - 14 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение:

\[ c = \frac{7\sqrt{3} \pm \sqrt{(7\sqrt{3})^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14)}}{2 \cdot 1} \] \[ c = \frac{7\sqrt{3} \pm \sqrt{147}}{2} \] \[ c = \frac{7\sqrt{3} \pm \sqrt{3} \cdot \sqrt{49}}{2} \] \[ c = \frac{7\sqrt{3} \pm 7}{2} \]

Так как длина стороны не может быть отрицательной, выберем положительное значение:

\[ c = \frac{7\sqrt{3} + 7}{2} = 7\cdot \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \]

Таким образом, мы нашли длину стороны CD. Теперь можем найти углы трапеции.

Угол BAD равен 30 градусам (так как треугольник ABC равносторонний), а угол ABC равен углу ADC, который мы нашли.

Угол BCD можно найти, зная, что сумма углов в трапеции равна 360 градусов. Таким образом, угол BCD равен:

\[ \text{Угол BCD} = 360^\circ - \text{Угол ADC} - \text{Угол BAD} - \text{Угол ABC} \]

\[ \text{Угол BCD} = 360^\circ - \text{Угол ADC} - 30^\circ - 30^\circ \]

Теперь мы можем вычислить угол BCD, используя найденное значение угла ADC.