Question

Найдите наименьшее значение функции y=e^2x-5e^x-2

Answer 1

Найдите наименьшее значение функции y=e^2x-5e^x-2y= (e^x)² - 5e^x - 2 =  -8,25 + (e^x -5/2)²  ;  min (y) = - 8,25 (, если e^x -5/2 = 0 ⇔e^x =5/2 ⇔x =Ln5/2).
* * * * *   можно и с помощью производной   * * * * *   

Answer 2

$y`=2e ^{2x} -5e^x=e^x(2e^x-5)=0$
e^x>0⇒2e^x-5=0⇒e^x=2,5
y=2,5²-5*2,5-2=6,25-12,5-2=-8,25

Answer 3

Для нахождения наименьшего значения функции y = e^(2x) - 5e^x - 2, нужно сначала найти её минимум.

Для этого, возьмем производную функции по x и приравняем ее к нулю:

y' = 2e^(2x) - 5e^x = 0

Факторизуем это уравнение:

e^x(2e^x - 5) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения x:

1) e^x = 0 Но такого значения не существует, так как экспонента e^x всегда положительна.

2) 2e^x - 5 = 0 Решаем это уравнение:

2e^x = 5 e^x = 5/2 x = ln(5/2)

Теперь, чтобы найти соответствующее значение y, подставим найденное x обратно в исходную функцию:

y = e^(2 * ln(5/2)) - 5e^(ln(5/2)) - 2

y = (5/2)^2 - 5 * (5/2) - 2

y = 25/4 - 25/2 - 2

y = 25/4 - 50/4 - 8/4

y = -33/4

Таким образом, наименьшее значение функции y = e^(2x) - 5e^x - 2 равно -33/4.