Question

В треугольнике ABC со сторонами AB=12, BC=11, AC=14 из вершины В опущены перпендикуляры BD и BE на биссектрисы углов BAC и BCA соответственно. Найдите длину отрезка DE.

Answer 1

Положим что биссектриса проведенная к стороне $BC=x$ , $CG=y$ . Углы  $BAC, BCA$ $2a,2b$ соответственно. Используя теорему косинусов найдем углы $a,b$ 
$12^2=11^2+14^2-2*11*14*cos2b\\ 11^2=12^2+14^2-2*12*14*cos2a\\\\ b=\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2} \\ a=\frac{arccos(\frac{73}{112})}{2}$ 
Найдем $BE;BD$ 
 
$S_{BGC} = \frac{11y*sin(\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2} ) }{2}}=\frac{BE*y}{2}\\ BE=11*sin(\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2})\\ BD=12*sin(\frac{arccos(\frac{73}{112})}{2})\\\\ EBD=\frac{arccos(\frac{173}{308})}{2}+\frac{arccos(\frac{73}{112})}{2}$ 
 
По теореме косинусов   $ED^2=BD^2+BE^2-2BD*BE*cosEBD$ 
подставляя найденные значения получим 
 $ED=\frac{9}{2}$
 

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами биссектрис треугольника.

Пусть точка D - основание перпендикуляра, опущенного из вершины B на биссектрису угла BAC, а точка E - основание перпендикуляра, опущенного из вершины B на биссектрису угла BCA.

Заметим, что треугольник ABD и треугольник BCE подобны, так как у них соответственные углы равны.

Из этого следует, что отношение соответствующих сторон треугольников равно. То есть:

AB/BD = BC/BE

Подставим известные значения:

12/BD = 11/BE

Теперь найдем BD и BE. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольников ABD и BCE.

Для треугольника ABD:

AD^2 + BD^2 = AB^2

AD^2 + BD^2 = 12^2

AD^2 + BD^2 = 144

Аналогично, для треугольника BCE:

BE^2 + EC^2 = BC^2

BE^2 + EC^2 = 11^2

BE^2 + EC^2 = 121

Теперь заметим, что AD = EC, так как это биссектрисы треугольника ABC.

Тогда:

AD^2 + BD^2 = BE^2 + EC^2

144 = BE^2 + 121

BE^2 = 144 - 121

BE^2 = 23

BE = √23

Теперь, подставим найденное значение BE в уравнение:

12/BD = 11/√23

Теперь найдем BD:

BD = (12 * √23) / 11

Наконец, найдем длину отрезка DE:

DE = BD - BE

DE = (12 * √23) / 11 - √23

DE = (√23 * (12 - 11)) / 11

DE = √23 / 11

Таким образом, длина отрезка DE равна √23 / 11.