Question

A (0; -3), B (-1; 0), C (5; 2), D (6; -1) 1. BC (вектор) {?; ?} 2. ВС = ? 3. Уравнение окружности с центром в точке B и радиусом BC. 4. Доказать, что четырёхугольник ABCD — прямоугольник.

Answer 1

Вектор ВС (5-(-1);2-0) ВС(6;2)
Длина ВС= корень из 6^2+2^2=корень из36+4=корень из 40
(x-6)^2+(y-2)^2=40
4) Вектор АВ(-1;3), вектор СD(1;-3) значит эти векторы коллинеарны и = по длине, значит по признаку АВСD - параллелограмм. Сравним диагонали АС(5;5), ВD(7;-1) Обе диагонали имеют длину = корень из 50 Значит у параллелограмма диагонали равны и это прямоугольник

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать знания о векторах, расстоянии между точками и свойствах прямоугольников.

1. Вектор BC {?, ?}

Чтобы найти вектор BC, мы вычитаем координаты точки B из координат точки C.

BC = (xC - xB, yC - yB) = (5 - (-1), 2 - 0) = (6, 2)

Таким образом, вектор BC равен (6, 2).

2. Длина ВС

Для нахождения длины ВС, мы можем воспользоваться формулой расстояния между двумя точками.

ВС = √[(xC - xB)^2 + (yC - yB)^2] = √[(5 - (-1))^2 + (2 - 0)^2] = √[36 + 4] = √40 = 2√10

Таким образом, длина ВС равна 2√10.

3. Уравнение окружности с центром в точке B и радиусом ВС

Уравнение окружности с центром в точке B и радиусом ВС может быть записано в виде:

(x - xB)^2 + (y - yB)^2 = ВС^2

Подставляя значения координат точки B и длины ВС, мы получаем:

(x + 1)^2 + (y - 0)^2 = (2√10)^2

x^2 + 2x + 1 + y^2 = 40

x^2 + y^2 + 2x - 39 = 0

Таким образом, уравнение окружности с центром в точке B и радиусом ВС имеет вид x^2 + y^2 + 2x - 39 = 0.

4. Доказательство, что четырёхугольник ABCD - прямоугольник

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, мы можем использовать свойства прямоугольников.

Свойство 1: Противоположные стороны прямоугольника параллельны. Известно, что вектор BC (6, 2) и вектор AD (6, -2) параллельны, так как их коэффициенты пропорциональны.

Свойство 2: Противоположные стороны прямоугольника равны по длине. Мы уже вычислили, что длина ВС равна 2√10, а длина AD (расстояние между точками A и D) также равна 2√10. Следовательно, стороны ВС и AD равны.

Свойство 3: Диагонали прямоугольника равны по длине и перпендикулярны. Для доказательства этого свойства, мы можем вычислить длины диагоналей AC и BD.

Длина AC = √[(xC - xA)^2 + (yC - yA)^2] = √[(5 - 0)^2 + (2 - (-3))^2] = √[25 + 25] = √50 = 5√2

Длина BD = √[(xD - xB)^2 + (yD - yB)^2] = √[(6 - (-1))^2 + (-1 - 0)^2] = √[49 + 1] = √50 = 5√2

Мы видим, что длины диагоналей AC и BD равны. Кроме того, вектор AB (диагональ AC) и вектор CD (диагональ BD) перпендикулярны, так как их коэффициенты пропорциональны и противоположны.

Таким образом, все свойства прямоугольника выполняются для четырёхугольника ABCD, и мы можем заключить, что ABCD является прямоугольником.