Question

Дана окружность ω радиуса 10, в которой проведён диаметр AB. На отрезке AB взята точка P на расстоянии 4 от центра окружности ω. Найдите радиус окружности, которая касается отрезка AB в точке P и внутренним образом касается окружности ω.

Answer 1

R - радиус большой окружности ω.
R=10
r - радиус внутренней окружности.
ω - центр большой окружности.
О - центр внутренней окружности.
Так как окружности касаются внутренним образом, то
R-r = ωO
По т. Пифагора:
ωО=√ωР²+ОР²=√4²+r²=√16+r²
R-r = √16+r²
(10-r)²=16+r²
100-20r+r²=16+r²
-20r = 16-100
-20r = -84
 r=4.2
Ответ: 4,2

Answer 2

Пусть \(O\) - центр окружности \(\omega\) радиуса 10, \(AB\) - диаметр этой окружности, \(P\) - точка на отрезке \(AB\) на расстоянии 4 от центра \(O\). Также пусть \(Q\) - центр искомой окружности, касающейся отрезка \(AB\) в точке \(P\) и внутренним образом касающейся окружности \(\omega\).

Так как точка \(P\) находится на отрезке \(AB\) и на расстоянии 4 от центра \(O\), то длина отрезка \(OP\) равна 4.

Поскольку точка \(Q\) является центром окружности, касающейся отрезка \(AB\) в точке \(P\), и внутренним образом касающейся окружности \(\omega\), то \(QO\) будет равно сумме радиусов этих окружностей.

Получается уравнение:

\[QO = 10 + r,\]

где \(r\) - радиус искомой окружности.

Также мы знаем, что \(OP = 4\). Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике \(OPQ\):

\[OP^2 + OQ^2 = PQ^2.\]

Подставим значения:

\[4^2 + (10 + r)^2 = (10 - r)^2.\]

Решив это уравнение, найдем значение \(r\), которое будет радиусом искомой окружности.