Question

В равнобедренной трапеции высота проведённая из вершины тупого угла делит большее основание на отрезки, один из которых в 5 раз больше другого. Больший отрезок равен 35 см. Найдите среднюю линию трапеции

Answer 1

Все расписала на фото

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами равнобедренной трапеции. Пусть AB и CD - основания трапеции, причем AB > CD. Высота трапеции - это отрезок EF, который проведен из вершины тупого угла E и перпендикулярен основаниям AB и CD.

По условию задачи, один из отрезков, на которые делится большее основание AB, в 5 раз больше другого отрезка. Пусть больший отрезок равен x, тогда меньший отрезок равен x/5. Также известно, что больший отрезок равен 35 см.

Используя свойство подобных треугольников, можем записать:

EF / x = (EF + x/5) / AB

EF * AB = x * (EF + x/5)

EF * AB = EFx + (x^2)/5

EF * AB - EFx = (x^2)/5

EF * AB - (AB - EF)x = (x^2)/5

EF * AB - ABx + EFx = (x^2)/5

EF * AB - ABx + EFx - (x^2)/5 = 0

Теперь подставим известные значения. Пусть AB = a, EF = b, x = 35.

b * a - a * 35 + b * 35 - (35^2)/5 = 0

b * a - 35a + 35b - 245 = 0

a(b - 35) + 35(b - 7) = 0

Так как трапеция равнобедренная, то отрезки AB и CD равны, поэтому a = CD. Также, по свойству равнобедренной трапеции, отрезок EF является медианой трапеции, и его длина равна половине суммы длин оснований. То есть b = (AB + CD) / 2.

Теперь заменим a и b в уравнении:

CD((AB + CD)/2 - 35) + 35(((AB + CD)/2) - 7) = 0

CD((AB + CD)/2 - 35) + 35(((AB + CD)/2) - 7) = 0

CD((AB + CD)/2 - 35) + ((AB + CD)/2) - 7) = 0

CD((AB + CD)/2 - 35) + (AB + CD)/2) - 245/5 = 0

CD((AB + CD)/2 - 35) + (AB + CD)/2) - 49 = 0

CD((AB + CD)/2 - 35) + (AB + CD)/2) = 49

Теперь у нас есть уравнение, которое можно решить относительно CD и AB:

CD((AB + CD)/2 - 35) = -((AB + CD)/2)

CD(AB + CD - 70) = -(AB + CD)

CD(AB + CD - 70) + AB + CD = 0

CD(AB + CD - 70 + 1) + AB = 0

CD(AB + CD - 69) + AB = 0

CD(AB + CD) - 69CD + AB = 0

CD(AB + CD) + AB - 69CD = 0

CD(AB + CD) + AB - 69CD + CD^2 - CD^2 = 0

CD(CD + AB) + AB - 69CD + CD^2 - CD^2 = 0

CD^2 + AB*CD + AB - 69CD = 0

CD^2 - (69 - AB)*CD + AB = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно CD. Можно решить его с помощью формулы дискриминанта:

D = (69 - AB)^2 - 4 * AB

Если дискриминант D > 0, то уравнение имеет два различных решения.

Если D = 0, то уравнение имеет одно решение.

Если D < 0, то уравнение не имеет решений.

Решив это квадратное уравнение, мы найдем значения CD и AB, а затем сможем найти среднюю линию трапеции, которая равна половине суммы оснований:

средняя линия = (AB + CD) / 2