Question

ПОМОГИТЕ !!!!!!!!!!!!!!!!!Окружность радиуса 2 вписана в равнобокую трапецию. Найдите площадь этой трапеции , если одно из ее оснований равно 8.

Answer 1

Для начала учтем, что требуется найти. Нам дано нижнее основание трапеции. А для площади нужно еще знать верхнее основание и высоту трапеции.
1) Очевидно, что раз окружность вписана в трапецию, значит она касается всех сторон трапеции, в том числе и оснований. Для равнобокой трапеции расстояние между основаниями будет равно диаметру вписанной окружности, и это расстояние будет равно как раз высоте трапеции. То есть высота равна 4.
2) Поскольку окружность вписана в равнобедренную трапецию, то сумма оснований равна сумме боковых сторон.
Пусть верхнее основание равно х, тогда каждая из боковых сторон равна (х + 8)/2.
Теперь, проведя высоту, мы получим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона трапеции, один из катетов - высота трапеции, а второй катет (исходя из того что трапеция равнобедренная) будет равен (8 - х)/2. (из нижнего основания вычесть верхнее и  разделить на 2).
Тогда по теореме Пифагора имеем:
((х+8)/2)² = 16 + ((8-х)/2)²
(х² + 16х + 64)/4 = 16 + (64 - 16х + х²)/4
х² + 16х + 64 = 64 + 64 - 16х + х²
32х = 64
х = 2 (верхнее основание) (кстати, получилось, что в таком случае верхнее основание и высота трапеции по длине совпали!!!)

3) И находим площадь трапеции: (2+8)/2*4 = 20
Ответ: 20

Answer 2

Давайте обозначим данную трапецию и её элементы. Пусть ABCD - трапеция, где AB и CD - основания, а BC и AD - боковые стороны. Также пусть O - центр вписанной окружности, радиус которой равен 2.

Сначала обратим внимание на треугольник AOB, где O - центр вписанной окружности, а AB - сторона трапеции. Поскольку O - центр вписанной окружности, то OA и OB являются радиусами окружности, а значит, они равны 2. Также известно, что OA и OB являются радиусами окружности, проведенными к точкам касания окружности с стороной трапеции.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Мы знаем, что AB = 8 (одно из оснований трапеции), AO = BO = 2 (радиус окружности). По теореме Пифагора:

\[ AC^2 = AB^2 - BC^2 \]

\[ AC^2 = 8^2 - 2^2 \]

\[ AC^2 = 64 - 4 \]

\[ AC^2 = 60 \]

\[ AC = \sqrt{60} = 2\sqrt{15} \]

Теперь у нас есть высота треугольника ABC, проведенная из вершины до основания CD трапеции. Обозначим эту высоту через h.

Так как AO - это радиус окружности, проведенный к боковой стороне BC, то AO также является высотой треугольника AOC.

Таким образом, \( h = AO = 2 \).

Теперь мы можем найти площадь треугольника ABC:

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h \]

\[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{15} \cdot 2 \]

\[ S_{ABC} = 2\sqrt{15} \]

Наконец, чтобы найти площадь всей трапеции ABCD, сложим площадь треугольника ABC с площадью трапеции:

\[ S_{\text{трапеции}} = S_{ABC} + S_{ABCD} \]

Так как трапеция ABCD имеет параллельные основания AB и CD, площадь трапеции можно также выразить как:

\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h \]

\[ S_{ABCD} = \frac{1}{2} \cdot (8 + 8) \cdot 2 \]

\[ S_{ABCD} = 16 \]

Теперь сложим площади:

\[ S_{\text{трапеции}} = 2\sqrt{15} + 16 \]

\[ S_{\text{трапеции}} \approx 20.90 \]

Таким образом, площадь трапеции ABCD равна приблизительно 20.90.