Question

Середина нижнего основания трапеции является центром описанной окружности. Основания трапеции равны 4 и 32. Найдите величину диагонали трапеции.

Answer 1

Трапеция вписана в окружность=> она равнобедренная. По теореме Птоломея d1*d2=a*c+d*b. Т.к. центр окружности лежит на нижнем оснований, то треугольник, образованный нижним основанием, диагональю и боковой стороной, будет прямоугольным. Если боковую сторону обозначить за х, то можно написать систему уравнений: d^2=x^2+4*32; d^2=32^2-x^2. Приравняв правые части уравнений получим x^2=448. Подставив это значение в любое из двух уравнений системы получим d^2=448+128=576, d=24.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством, что середина основания трапеции является центром описанной окружности.

Пусть точка A - середина нижнего основания трапеции, а точки B и C - основания трапеции. Тогда AB и AC - радиусы описанной окружности, а BC - диаметр этой окружности.

Так как AB и AC являются радиусами описанной окружности, они равны между собой. Поэтому AB = AC.

Также из условия задачи известно, что основания трапеции равны 4 и 32, то есть BC = 32 - 4 = 28.

Так как AB = AC и BC - диаметр описанной окружности, то AB + AC = BC.

Из этого следует, что AB + AB = BC, или 2AB = BC.

Таким образом, диагональ трапеции равна половине диаметра описанной окружности, то есть диагональ равна половине длины BC.

Подставляя значения, получаем: диагональ = 28 / 2 = 14.

Ответ: величина диагонали трапеции равна 14.