Question

Прямая p параллельна стороне AB треугольника ABC. Докажите,что прямы BC и AC пересекают прямую p. Решить методом от противного. Помогите пожалуйста

Answer 1

Во первых, уточним, что прямая р лежит в ОДНОЙ плоскости  с треугольником АВС.
Во вторых,существует аксиома: "В одной плоскости через любую точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну".
Следствие из этой аксиомы:
Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и вторую параллельную прямую. Это следствие доказывается методом от противного.
Предполагается, что прямая (АС или ВС), пересекающая одну из параллельных прямых (АВ) в точке (А или В), НЕ пересекает вторую. Тогда имеем еще одну прямую k, параллельную  второй прямой р, проходящую через точку пересечения (А или В), что противоречит аксиоме о параллельных прямых.
Итак, если p параллельна AB, а BC и АС пересекают AB, значит прямые BC и АС (или их продолжения) пересекают и прямую p, т.к. p || AB.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное утверждение более подробно. Пусть \( p \) - прямая, параллельная стороне \( AB \) треугольника \( ABC \).

Исходное утверждение: прямые \( BC \) и \( AC \) пересекают прямую \( p \).

Для решения методом от противного предположим, что это не так, то есть, прямые \( BC \) и \( AC \) не пересекают прямую \( p \).

Посмотрим на возможные случаи:

1. Прямая \( p \) параллельна стороне \( AB \). В этом случае, если прямые \( BC \) и \( AC \) не пересекают \( p \), они также будут параллельны \( AB \), что противоречит условию задачи (так как треугольник ABC был задан, как треугольник).

2. Прямая \( p \) не параллельна стороне \( AB \). В этом случае, по теореме о параллельных линиях, у нас образуется две пары соответственных углов: \(\angle ABC\) и \(\angle BCA\) (между прямой \( p \) и стороной \( AB \)), а также \(\angle ACB\) и \(\angle BAC\) (между прямой \( p \) и стороной \( AC \)). Если прямые \( BC \) и \( AC \) не пересекают \( p \), то у нас нет общей вершины у этих углов, что противоречит требованию построения треугольника.

Таким образом, наше предположение о том, что прямые \( BC \) и \( AC \) не пересекают \( p \), неверно. Следовательно, прямые \( BC \) и \( AC \) действительно пересекают прямую \( p \).