Question

Докажите признак подобия прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе.

Answer 1

1) угол А = 90° - угол В = 90° - В1 = А1
2) Рассмотрим ∆АВС И ∆А1В1С1: АС = А1С1; угол С = углу С1; угол А = углу А1 (по гипотенузе и катету) => ∆АВС = ∆А1В1С1, ч. и т.д.

Answer 2

Признак подобия прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе можно доказать с помощью следующих утверждений:

1. Утверждение 1: Если в двух прямоугольных треугольниках один катет и гипотенуза соответственно пропорциональны другому катету и гипотенузе, то эти треугольники подобны.

Доказательство утверждения 1: Пусть у нас есть два прямоугольных треугольника ABC и DEF, где AB и DE - катеты, а AC и DF - гипотенузы. Предположим, что AB/DE = AC/DF.

Так как треугольники ABC и DEF прямоугольные, то по теореме Пифагора AC^2 = AB^2 + BC^2 и DF^2 = DE^2 + EF^2.

Поделим оба уравнения на DE^2: (AC^2)/(DE^2) = (AB^2 + BC^2)/(DE^2) и (DF^2)/(DE^2) = (DE^2 + EF^2)/(DE^2).

Заменим AC/DF на AB/DE, так как по условию они пропорциональны: (AB^2 + BC^2)/(DE^2) = (DE^2 + EF^2)/(DE^2).

Упростим это уравнение: AB^2/DE^2 + BC^2/DE^2 = DE^2/DE^2 + EF^2/DE^2.

Так как AB/DE = AC/DF, то AB^2/DE^2 = AC^2/DF^2. Также, так как BC/DE = EF/DE, то BC^2/DE^2 = EF^2/DE^2.

Подставим эти значения в уравнение: AC^2/DF^2 + EF^2/DE^2 = DE^2/DE^2 + EF^2/DE^2.

Упростим: AC^2/DF^2 = 1.

Таким образом, мы доказали, что если AB/DE = AC/DF, то треугольники ABC и DEF подобны.

2. Утверждение 2: Если в двух прямоугольных треугольниках соотношение длин катетов и гипотенуз равно, то эти треугольники подобны.

Доказательство утверждения 2: Пусть у нас есть два прямоугольных треугольника ABC и DEF, где AB/DE = AC/DF.

Так как треугольники ABC и DEF прямоугольные, то по теореме Пифагора AC^2 = AB^2 + BC^2 и DF^2 = DE^2 + EF^2.

Поделим оба уравнения на DE^2: (AC^2)/(DE^2) = (AB^2 + BC^2)/(DE^2) и (DF^2)/(DE^2) = (DE^2 + EF^2)/(DE^2).

Заменим AB/DE на AC/DF, так как по условию они равны: (AC^2)/(DE^2) = (AC^2 + BC^2)/(DF^2) и (DF^2)/(DE^2) = (DE^2 + EF^2)/(DE^2).

Упростим это уравнение: (AC^2 + BC^2)/(DF^2) = 1.

Таким образом, мы доказали, что если AB/DE = AC/DF, то треугольники ABC и DEF подобны.

Важно отметить, что эти утверждения являются доказанными математическими фактами, и их можно использовать для доказательства подобия прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе.