Question

≡Решите плиз!!!СРОЧНО!!!≡В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=14, BC=12.

Answer 1

В прямоугольной трапеции АВСД АД||ВС, значит <ДАВ=<АВС=90°.
Расстояние от Е до СД - это перпендикуляр ЕК к СД.
Из вершины С опустим высоту СН на АД: АВ=СН, ВС=АН=12
АД=АН+НД
НД=АД-АН=14-12=2.
Продолжим стороны АВ и СД до пересечения в точке М.
Прямоугольные ΔМВС и ΔСНД подобны по острому углу (<ВСМ=<НДС как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АД и ВС секущей МД)
ВС/НД=МС/СД
12/2=МС/СД
МС=6СД
МД=МС+СД=6СД+СД=7СД
Получается, что МЕ - касательная и МД - секущая, проведённые к окружности из одной точки.
Значит МЕ²=МД*МС=7СД*6СД=42СД²
МЕ=СД√42
Прямоугольные ΔМКЕ и ΔСНД подобны по острому углу (<ЕМК=<ДСН как соответственные углы при пересечении параллельных прямых АМ и СН секущей МД)
МЕ/СД=ЕК/НД
СД√42/СД=ЕК/2
ЕК=2√42

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами трапеции и окружности. Первое, что мы можем заметить, это то, что боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Обозначим точку, где окружность касается прямой AB, как E.

Также обозначим точки касания окружности с прямыми CD и AB как F и G соответственно. Таким образом, у нас получится следующая схема:

   C---------F
  /|         |\
 / |         | \
A--G---------E--B
 \ |         | /
  \|         |/
   D---------  

Так как AB перпендикулярна BC, то AD и BC также перпендикулярны. Таким образом, у нас образуется прямоугольный треугольник ADE.

Теперь воспользуемся свойствами касательных: отрезок, проведенный от центра окружности до точки касания, перпендикулярен касательной. Значит, EG и FD являются радиусами окружности.

Также из свойства касательной и хорды следует, что угол между касательной и хордой в точке касания равен углу, заключенному между хордой и диаметром, проведенным через точку касания.

Из того, что EG и FD радиусы, следует, что угол AEG равен углу BFD, и обозначим этот угол как α.

Теперь у нас есть два треугольника ADE и BCF. Оба они прямоугольные. Мы знаем, что AD = 14 и BC = 12. Нам нужно найти расстояние от точки E до прямой CD, то есть отрезок EF.

Рассмотрим треугольник ADE: \[ \tan(\alpha) = \frac{DE}{AD} \]

Рассмотрим треугольник BCF: \[ \tan(\alpha) = \frac{CF}{BC} \]

Объединим уравнения: \[ \frac{DE}{AD} = \frac{CF}{BC} \]

Теперь можем выразить DE через CF: \[ DE = \frac{AD \cdot CF}{BC} \]

Подставим известные значения: \[ DE = \frac{14 \cdot CF}{12} \]

Теперь рассмотрим треугольник BCF: \[ \tan(\alpha) = \frac{FD}{BC} \]

Отсюда выразим FD: \[ FD = BC \cdot \tan(\alpha) \]

Так как EG и FD радиусы, они равны: \[ EG = FD \]

Теперь у нас есть два выражения для EG. Приравняем их: \[ \frac{14 \cdot CF}{12} = BC \cdot \tan(\alpha) \]

Теперь можем выразить CF: \[ CF = \frac{BC}{14} \cdot 12 \cdot \tan(\alpha) \]

Теперь мы знаем CF, и можем найти EF, так как EG = FD: \[ EF = 2 \cdot EG = 2 \cdot CF = 2 \cdot \frac{BC}{14} \cdot 12 \cdot \tan(\alpha) \]

Подставим известные значения: \[ EF = \frac{12}{7} \cdot \tan(\alpha) \]

Таким образом, нам нужно найти значение \(\tan(\alpha)\). Мы знаем, что \(\tan(\alpha)\) равен отношению высоты к основанию в прямоугольном треугольнике ADE.

\[ \tan(\alpha) = \frac{DE}{AD} \]

Так как треугольник ADE прямоугольный, то \(DE = \sqrt{AD^2 - AE^2}\). Мы можем выразить AE через радиус окружности и BC:

\[ AE = \frac{BC}{2} \]

Теперь мы можем найти \(\tan(\alpha)\): \[ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{AD^2 - \left(\frac{BC}{2}\right)^2}}{AD} \]

Подставим известные значения: \[ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{14^2 - \left(\frac{12}{2}\right)^2}}{14} \]

\[ \tan(\alpha) = \frac{\sqrt{196 - 36}}{14} = \frac{\sqrt{160}}{14} = \frac{4\sqrt{10}}{14} = \frac{2\sqrt{10}}{7} \]

Теперь можем найти EF: \[ EF = \frac{12}{7} \cdot \tan(\alpha) = \frac{12}{7} \cdot \frac{2\sqrt{10}}{7} \]

\[ EF = \frac{24\sqrt{10}}{49} \]

Таким образом, расстояние от точки E до прямой CD равно \(\frac{24\sqrt{10}}{49}\).