Question

Точка E делит сторону BC параллелограмма ABCD в отношении 3:4 , считая от точки B. Прямая AE пересекает диагональ BD в точке O. Найдите отношение BO:OD.

Answer 1

Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. 
Пусть коэффициент отношения ВЕ:ЕС равен 1. 
Тогда АD=ВС=7
Треугольники ВОЕ и АОD подобны по  равным вертикальным углам при О и накрестлежащим при их основаниях. 
Из  подобия треугольников следует отношение их сторон:
ВО:ОD=ВЕ:АD=3:7

Answer 2

Пусть точка E делит сторону BC параллелограмма ABCD в отношении 3:4, считая от точки B. Тогда пусть BE = 3x и EC = 4x.

Так как BE = 3x, то BC = BE + EC = 3x + 4x = 7x.

Также, так как BE || AD, то треугольники ABE и ADC подобны, поэтому AE/AD = BE/DC = 3/4.

Поэтому AE = (3/4) * AD.

Также, так как прямая AE пересекает диагональ BD в точке O, то треугольники AOE и BOD подобны, поэтому AO/BO = AE/OD.

Подставляем AE = (3/4) * AD и получаем:

AO/BO = (3/4) * AD/OD.

Так как AO/BO = 1 (так как точка O находится на диагонали BD), то имеем:

1 = (3/4) * AD/OD.

Умножаем обе части уравнения на OD и получаем:

OD = (4/3) * AD.

Так как BO/OD = 1, то имеем:

BO/OD = (4/3) * AD/(4/3) * AD = 1/1 = 1.

Отношение BO:OD равно 1:1.