Question

дана трапеция ABCD. Окружность походит через точки A,B и C. и пересекает сторону AD в точке F. BF = 6*sqrt(2) , угол AFB = 45 градусов. Так же известно что CD = 6. найдите длину AD.

Answer 1

Смешное условие :).√

Высота трапеции равна BF*sin(45°) = 6; поскольку это равно CD, то трапеция прямоугольная - СD перпендикулярно AD.

При этом фигура ABCF - равнобедренная трапеция, симметричная относительно диаметра этой окружности, перпендикулярного основаниям AD и BC.

Если провести перпендикуляр из точки B на AD - пусть это BE, то фигура EBCD - прямоугольник, который также симметричен относительно этого диаметра окружности (перпендикулярного основаниям AD и BC) - просто потому, что это перпендикуляр к BC, проходящий через его середину.

Поэтому отрезки EA и FD равны между собой, и AD = EF = BF*sin(45°) = 6

 

Чтобы не было трудностей с "визуализацией", полезно сразу сообразить, что AD<BC, если точка F лежит между A и D. На самом деле задачу конструировали "с конца" - взяли прямоугольник BEDC (BC > EB), провели из точки B прямую под углом в 45° к BC до пересечения с ED в точке F, на расстоянии, равном FD, от точки E отложили точку А, и через четыре точки A,B,C,F лежащие в вершинах равнобедренной трапеции, провели окружность.

Answer 2

Вариант решения.

Сделаем рисунок. Точку D временно не обозначаем.
Соедиим С и F.
Получим вписанную в окружность трапецию АВСF, которая по свойству вписанной трапеции - равнобедренная.
Соединим А и С.
ВF=АС по свойству диагоналей равнобедренной трапеции, и
угол САF =углу ВFА=45°
Проведем СЕ параллельно ВF до пересечения с продолжением АF.
Угол СЕА =ВFА по свойству параллельных прямых ВF и СЕ и секущей АЕ.

Получим равнобедренный прямоугольный треугольник АСЕ с катетами, равными ВF=6√2 , т.к. углы при основании АЕ равны 45°
АЕ²=2(6√2)²=2*72=144
АЕ=√144=12
Высота СН равнобедренного прямоугольного треугольника АСЕ одновременно и медиана и равна половине АЕ=12:2=6
СН=6 и совпадает с СД=6.
Треугольник АДС -прямоугольный и равнобедренный, т.к угол СНА=СДА=90°, а САД=45°
АД=CД=6

Answer 3

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой о перпендикулярности хорды и радиуса окружности.

Из условия задачи известно, что окружность проходит через точки A, B и C. Поэтому отрезок AB является диаметром окружности. Пусть точка O - центр окружности.

Также известно, что окружность пересекает сторону AD в точке F. По теореме о перпендикулярности хорды и радиуса, отрезок OF является высотой трапеции ABCD, опущенной из вершины F.

Так как BF = 6√2, а угол AFB = 45 градусов, то треугольник AFB является прямоугольным с гипотенузой BF. Тогда по теореме Пифагора получаем:

AF² + AB² = BF² AF² + (2r)² = (6√2)² AF² + 4r² = 72

Также известно, что CD = 6, а AD - основание трапеции. Поэтому AD = AB - CD.

Итак, у нас есть два уравнения:

AF² + 4r² = 72 AD = AB - CD

Для решения системы уравнений нужно найти еще одно уравнение. Воспользуемся теоремой о сумме углов в трапеции. Углы AB и CD смежные и дополнительные, поэтому их сумма равна 180 градусов. Таким образом, углы A и D в сумме дают 180 градусов.

Угол AFD = 180 - AFB = 180 - 45 = 135 градусов.

Так как угол AFD является смежным с углом A, то угол A равен 180 - 135 = 45 градусов.

Теперь мы можем записать еще одно уравнение:

AD = 2r * sin(A)

Теперь у нас есть система из трех уравнений:

AF² + 4r² = 72 AD = AB - CD AD = 2r * sin(A)

Решим эту систему уравнений методом подстановки.

Сначала найдем значение угла A:

AD = 2r * sin(45) AD = 2r * √2 / 2 AD = r√2

Теперь подставим это значение во второе уравнение:

r√2 = AB - 6

Так как AB = 2r (так как AB - диаметр окружности), то:

r√2 = 2r - 6

Разделим обе части уравнения на r:

√2 = 2 - 6/r

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат:

2 = 4 - 12/r + 36/r²

Перенесем все члены в левую часть уравнения:

0 = 2 - 12/r + 36/r² - 4

0 = -2 - 12/r + 36/r²

0 = -2r² - 12r + 36

Разделим обе части уравнения на -2:

0 = r² + 6r - 18

Теперь решим это квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:

D = b² - 4ac = 6² - 4*1*(-18) = 36 + 72 = 108

Так как дискриминант положительный, то уравнение имеет два корня:

r₁ = (-b + √D) / (2a) = (-6 + √108) / 2 = (-6 + 6√3) / 2 = -3 + 3√3 r₂ = (-b - √D) / (2a) = (-6 - √108) / 2 = (-6 - 6√3) / 2 = -3 - 3√3

Так как радиус не может быть отрицательным, то выбираем положительное значение:

r = -3 + 3√3

Теперь подставим найденное значение радиуса в первое уравнение:

AF² + 4*(-3 + 3√3)² = 72 AF² + 36 - 72√3 + 54 = 72 AF² - 72√3 + 90 = 72 AF² = 72√3 - 18

Теперь найдем значение стороны AD:

AD = 2*(-3 + 3√3) * sin(45) AD = -6√2 + 6√6

Таким образом, длина стороны AD равна -6√2 + 6√6.