Question

Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.

Answer 1

Т.к. ВМ - медиана треугольника АВС, то S(ABM)=S(MBC)

Т.к. АК - медиана треугольника АВМ,

!!! то S(ABK)=S(AKM)=S(ABM)/2=S(MBC)/2

Проведем МД так, что МД || КР, тогда КР - средняя линия в треуг-ке ВДМ, а МД - средняя линия в треуг-ке АРС, значит ВР=РД=ДС, т.е. ВС=3ВР. По условию ВК=КМ, т.е. ВМ=2ВК. Тогда

S(KBP)=1/2*ВК*ВР*sinКВР

S(МВС)=1/2*ВМ*ВС*sinКВР=1/2*2ВК*3ВР*sinКВР=3*ВК*ВР*sinКВР

Тогда  S(KBP)/S(МВС) = 1/ 6, а значит

!!! S(KPСМ)/S(МВС) = 5/6.

Сравниваем строчки , помеченные !!! и получаем  S(МАK) : S(KPСМ) = 2:6/15 = 5/12

Answer 2

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства медиан треугольника и доказательства о площадях треугольников, создаваемых пересечением прямых внутри треугольника.

Первый шаг: Найдите точку M

Мы знаем, что прямая, проходящая через середину медианы BM треугольника ABC и вершину A, пересекает сторону BC в точке P. Поскольку M - середина BM, то AM является медианой треугольника ABC. Поэтому точка M является точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Второй шаг: Найдите отношение площадей четырехугольника KPCM к площади треугольника AMK

Чтобы найти отношение площадей четырехугольника KPCM к площади треугольника AMK, нам необходимо найти эти площади.

1. Площадь треугольника AMK: - Поскольку M - середина медианы BM, то площадь треугольника AMK будет равна половине площади треугольника ABC, так как медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника. - Поэтому площадь треугольника AMK равна 1/2 * площадь треугольника ABC.

2. Площадь четырехугольника KPCM: - Чтобы найти площадь четырехугольника KPCM, нам нужно разбить его на два треугольника: треугольник KPM и треугольник KCM. - Площадь четырехугольника KPCM будет равна сумме площадей этих двух треугольников.

3. Площадь треугольника KPM: - Поскольку K - середина медианы BM, то площадь треугольника KPM будет равна половине площади треугольника BPM, так как медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника. - Поэтому площадь треугольника KPM равна 1/2 * площадь треугольника BPM.

4. Площадь треугольника KCM: - Поскольку K - середина медианы BM, то площадь треугольника KCM будет равна половине площади треугольника BCM, так как медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника. - Поэтому площадь треугольника KCM равна 1/2 * площадь треугольника BCM.

5. Площадь треугольника BCM: - Площадь треугольника BCM можно найти, используя формулу площади треугольника: площадь = (1/2) * основание * высота. - Основание треугольника BCM - это сторона BC, а высота - это расстояние от вершины A до прямой, проходящей через K и перпендикулярной стороне BC (так как K - середина медианы BM, то прямая, проходящая через K, будет перпендикулярна стороне BC). - Таким образом, площадь треугольника BCM будет равна (1/2) * BC * высота.

Теперь, когда мы знаем, как найти площади треугольников AMK, KPM, KCM и четырехугольника KPCM, мы можем найти отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника AMK.

При решении этих задач рекомендуется использовать конкретные числовые значения для сторон треугольника ABC и длину медианы BM, чтобы получить точные числовые ответы.