Question

1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке Е, на середине стороны АВ взята точка М. Отрезок DM пересекает диагональ АС в точке О. Найти АО и ОС, если АС = 18 см.

Answer 1

Параллелограмм АВСД, диагонали АС и ВД при пересечении делятся пополам АЕ=ЕС=1/2АС=18/2=9, ВЕ =ЕД, треугольник АВД, АМ=МВ, ДМ и АЕ -медианы, которые при пересечении делятся в отношении 2:1 начиная от вершины, АО=2/3АЕ=9*2/3=6, ОЕ=1/3АЕ=9*1/3=3, ОС=ОЕ+ЕС=3+9=12

Answer 2

Пусть точка F - середина стороны BC, а точка G - середина стороны CD параллелограмма ABCD.

Так как точка М - середина стороны AB, то отрезок DM является медианой треугольника ABD. По свойству медианы, он делит сторону AC пополам. То есть, отрезок AO равен отрезку OC.

Также из свойств параллелограмма можно сказать, что отрезок EF параллелен отрезку AB и равен ему вдвое. То есть, EF = AB/2.

Из подобия треугольников AEF и ABC следует, что отрезок AO также равен EF. То есть, AO = EF = AB/2.

Из подобия треугольников CGD и ABC следует, что отрезок OC также равен GD. То есть, OC = GD = BC/2.

Так как BC = CD, то BC/2 = CD/2 = AC/4.

Из условия задачи известно, что AC = 18 см. Значит, BC/2 = CD/2 = AC/4 = 18/4 = 4.5 см.

Таким образом, АО = OC = 4.5 см.