Question

В равнобокую трапецию вписано окружность, радиус которой равен 5 см. Расстояние между точками касания,которые принадлежат боковым сторонам трапеции=8 см. Найти площадь трапеции

Answer 1

По теореме об отрезках хорд имеем, что МО*ОК=РО*ОТ, МО=ОК=4, пусть РО=х, тогда ОТ=10-х, получим уравнение х(10-х)=16
х²-10х+16=0
х=2  х=8
РО=2 см, ОТ=8 см
треуг АВД подобен треуг МВО  т.к. МК||АД, коэф подобия равен ОР/РТ=2/10 =1/5, значит МО/АД=1/5  АД=5МО=20 см
треуг ВДС подобен треуг КДО, коэф подобия равен ОТ/РТ=8/10=4/5, значит ОК/ВС=4/5  ВС=ОК*5/4=5 см
S(трапеции)=(АД+ВС)*РТ/2=25*10/2=125 см кв

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности в трапецию.

Пусть AB и CD - основания трапеции, EF и GH - боковые стороны, O - центр окружности, r - радиус окружности, M и N - точки касания окружности с боковыми сторонами. Также пусть EM = NH = x - расстояние между точками касания.

Так как окружность вписана в трапецию, то отрезки AM и BN являются радиусами окружности и равны r = 5 см. Также известно, что расстояние между точками касания EM = NH = x = 8 см.

По свойству вписанной окружности, радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Поэтому, AM и BN являются высотами трапеции, опущенными из вершин A и B соответственно.

Так как AM и BN - высоты, то площадь трапеции можно выразить через их длины и среднюю линию трапеции (сумму оснований) по формуле: S = ((a + b) * h) / 2.

В нашем случае, a = AB, b = CD, h = AM = BN = r = 5 см.

Также, по условию, расстояние между точками касания EM = NH = x = 8 см.

Подставляем все значения в формулу площади трапеции:

S = ((a + b) * h) / 2 = ((AB + CD) * 5) / 2.

Осталось найти значения длин оснований AB и CD. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника AEO: AE^2 = AO^2 + EO^2.

Так как AM = r = 5 см, то AE = AB - x.

По теореме Пифагора: (AB - x)^2 = r^2 + x^2.

Раскрываем скобки: AB^2 - 2ABx + x^2 = r^2 + x^2.

Сокращаем x^2: AB^2 - 2ABx = r^2.

Так как AB + CD = EF + GH = 2r = 10 см, то AB = 10 - CD.

Подставляем в предыдущее уравнение: (10 - CD)^2 - 2(10 - CD)x = r^2.

Раскрываем скобки: 100 - 20CD + CD^2 - 20x + 2CDx = r^2.

Сокращаем x^2 и сортируем слагаемые: CD^2 - 20CD + 100 + 2CDx - 20x = r^2.

Так как CD^2 - 20CD + 100 = 0 (такое уравнение имеет только один корень, так как дискриминант равен нулю), то CD^2 - 20CD + 100 = 0.

Решаем это квадратное уравнение и находим значение CD. Пусть это значение будет CD = a.

Подставляем найденные значения AB = 10 - a, CD = a, r = 5 и x = 8 в формулу площади трапеции:

S = ((AB + CD) * 5) / 2 = ((10 - a + a) * 5) / 2 = (10 * 5) / 2 = 25 см^2.

Таким образом, площадь трапеции равна 25 см^2.