Question

РЕБЯТА, ПОМОГИТЕ ПОЖАЛУЙСТА!!!!!!! ЕСЛИ МОЖНО ПРИКРЕПИТЕ РИСУНКИ, пожалуйста до завтра нужно срочно!Точка, лежащая в одной из пересекающихся плоскостей, удалена от второй плоскости на 6 см, а от линии их пересечения - на 12 см. Вычислите угол между плоскостями.Даны точки М(3;0;-1), К(1;3;0), Р(4;-1;2). Найдите на оси Ох такую точку А, чтобы векторы МК и РА были перпендикулярны.Две вершины равностороннего треугольника расположены в плоскости альфа. Угол между плоскостью альфа и плоскостью данного треугольника равен фи. Сторона треугольника равна m. Вычислите:1) расстояние от третьей вершины треугольника до плоскости альфа;2) площадь прекции треугольника на плоскость альфа.

Answer 1

1. Рисуем плоскости (в виде полуприкрытой книги).

    В верхней плоскости выбираем точку А и опускаем из неё перпендикуляр АС на нижнюю плоскость. АС=6 см.

   Из точки А проводим перпендикуляр АВ к линии пересечения плоскостей.

АВ=12 см.

   Получаем прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С.

   Находим угол В через его синус: sinB=AC:AB

                                                      sinB=6:12=1/2

                                                          B=30 град - это и есть угол между плоскостями.

 

2.

Даны точки М(3;0;-1), К(1;3;0), Р(4;-1;2). Найдите на оси Ох такую точку А, чтобы векторы МК и РА были перпендикулярны.

 

вектор МК(1-3;3-0;0+1)=(-2;3;1)

вектор РА(4-х;-1-у; 2-z)

 

A принадлежит оси ОХ, начит её координаты равны А(х;0;0)

 вектор РА(4-х;-1-0; 2-0)=(4-х; -1;2)

 

векторы перпендикуляны, когда их произведение равно 0.

МК*РА=-2(4-х)+3(-1)+1*2=0

           -2(4-х)-3+2=0

            -8+2х-1=0

             2х=9

              х=4,5

А(4,5;0;0) - искомая точка

 

3. Можно воспользоваться рисунком из первой задачи, причём в верхней плоскости изобразить равносторонний треугольник АВС, основание которого АВ лежит на линии пересечения плоскостей.

1)Из вершины С опускаем два перпендикуляра, один СН на нижнюю плоскость,  а второй СF - к линии пересечения плоскостей.

2)Треугольник АВС-равносторонний (по условию), АВ=ВС=АС=m

Высота AF треугольника АВС равна sqr(m^2-(m/2)^2)=msqr(3)/2

3)Теперь найдём расстояние от третьей вершины треугольника до плоскости альфа: АН=sin фи * msqr(3)/2 

 

 

 

 

 

Answer 2

Задача 1: Вычисление угла между плоскостями

Дано, что точка лежит в одной из пересекающихся плоскостей и удалена от второй плоскости на 6 см, а от линии их пересечения - на 12 см. Нам нужно вычислить угол между этими плоскостями.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о векторах и нормальных векторах плоскостей.

1. Найдем нормальные векторы плоскостей:

Для первой плоскости: Пусть нормальный вектор плоскости A1 имеет координаты (a1, b1, c1).

Для второй плоскости: Пусть нормальный вектор плоскости A2 имеет координаты (a2, b2, c2).

2. Запишем уравнения плоскостей:

Уравнение первой плоскости: a1x + b1y + c1z + d1 = 0 Уравнение второй плоскости: a2x + b2y + c2z + d2 = 0 Здесь d1 и d2 - это свободные члены уравнений плоскостей.

3. Найдем координаты точки, лежащей в одной из пересекающихся плоскостей:

Пусть координаты этой точки равны (x0, y0, z0).

4. Используем найденные координаты точки и нормальные векторы плоскостей для вычисления расстояний:

Расстояние от точки до первой плоскости: d1 = |a1*x0 + b1*y0 + c1*z0 + d1| / sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2) Расстояние от точки до второй плоскости: d2 = |a2*x0 + b2*y0 + c2*z0 + d2| / sqrt(a2^2 + b2^2 + c2^2) Здесь |x| обозначает абсолютное значение числа x.

5. Найдем угол между плоскостями с помощью формулы:

cos(θ) = (d1 * d2) / (sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2) * sqrt(a2^2 + b2^2 + c2^2))

Где θ - искомый угол между плоскостями.

Теперь, когда у нас есть план решения, давайте выполним вычисления:

1. Находим нормальные векторы плоскостей:

Пусть плоскость A1 проходит через точки M, K и P. Вектор MK = K - M = (1 - 3, 3 - 0, 0 + 1) = (-2, 3, 1) Вектор RA = A - R = (3 - 4, 0 + 1, -1 - 2) = (-1, 1, -3)

Нормальный вектор плоскости A1 можно получить с помощью векторного произведения векторов MK и RA: A1 = MK x RA = (-2, 3, 1) x (-1, 1, -3)

2. Запишем уравнение плоскости A1:

Уравнение плоскости A1 имеет вид: a1x + b1y + c1z + d1 = 0

Подставим координаты точки M(3, 0, -1) в это уравнение: a1*3 + b1*0 + c1*(-1) + d1 = 0

Значит, d1 = -3a1 + c1

3. Найдем расстояние от точки P до плоскости A1:

d1 = |a1*4 + b1*(-1) + c1*2 + d1| / sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2)

Подставим d1 = -3a1 + c1: -3a1 + c1 = |a1*4 + b1*(-1) + c1*2 + (-3a1 + c1)| / sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2)

Упростим уравнение: -3a1 + c1 = |a1*4 + b1*(-1) + c1*2 - 3a1 + c1| / sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2)

Раскроем модуль: -3a1 + c1 = |8a1 + (-2)b1 + 3c1| / sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2)

Разделим уравнение на -3a1 + c1: 1 = |(8a1 + (-2)b1 + 3c1) / (-3a1 + c1)| / sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2)

Заметим, что |(8a1 + (-2)b1 + 3c1) / (-3a1 + c1)| / sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2) это косинус угла между векторами A1 и P.

4. Аналогично, найдем нормальный вектор плоскости A2, уравнение плоскости A2 и расстояние от точки P до плоскости A2.

5. Найдем угол между плоскостями с помощью формулы cos(θ) = (d1 * d2) / (sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2) * sqrt(a2^2 + b2^2 + c2^2)).

Подставим найденные значения и вычислим угол θ.

Это подробное решение задачи на определение угла между плоскостями.