Question

Известны стороны четырехугольника, вписанного в окружность: 3,4,5,6. Найдите его площадь.

Answer 1

Для вписанного четырехугольника справедлива формула, похожая на формулу Герона:

$S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}$

где p - полупеример четырехугольника.

 

Здесь p=9, и площадь равна

$S=\sqrt{6\cdot5\cdot4\cdot3}=6\sqrt{10}$

Answer 2

Чтобы найти площадь четырехугольника, вписанного в окружность, нужно разделить его на четыре треугольника, каждый из которых имеет общую вершину - центр окружности. Затем, используя формулу Герона, можно найти площадь каждого треугольника и сложить полученные значения.

Сначала найдем радиус окружности. Для этого воспользуемся формулой:

r = (a * b * c) / (4 * S),

где a, b, c - стороны треугольника, S - площадь треугольника.

Выберем одну из сторон четырехугольника, например, сторону 3. Тогда получим:

r = (3 * 4 * 5) / (4 * S) = 60 / (4 * S) = 15 / S.

Теперь найдем площадь каждого треугольника. Для этого воспользуемся формулой Герона:

S = √(p * (p - a) * (p - b) * (p - c)),

где p - полупериметр треугольника, a, b, c - его стороны.

Для первого треугольника, с вершиной в центре окружности и сторонами 3, 4 и 5, получим:

p = (3 + 4 + 5) / 2 = 6,

S1 = √(6 * (6 - 3) * (6 - 4) * (6 - 5)) = √(6 * 3 * 2 * 1) = √(36) = 6.

Аналогично, для остальных треугольников получим:

S2 = √(7 * 2 * 3 * 4) = √(168) ≈ 12.96,

S3 = √(8 * 3 * 4 * 5) = √(480) ≈ 21.91,

S4 = √(9 * 4 * 5 * 6) = √(1080) ≈ 32.83.

Теперь найдем радиус окружности:

r = 15 / S = 15 / (6 + 12.96 + 21.91 + 32.83) = 15 / 73.7 ≈ 0.203.

Наконец, найдем площадь четырехугольника, вписанного в окружность:

S = π * r^2 = 3.14 * 0.203^2 ≈ 0.130.

Таким образом, площадь четырехугольника, вписанного в окружность со сторонами 3, 4, 5 и 6, примерно равна 0.130.