Question

Напишите полное решение уравнение cos2x+0.5=cos^2x. Найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку [π/2;2π]

Answer 1

$cos2x+ \frac{1}{2} =cos^2x$
$cos^2x-sin^2x+ \frac{1}{2} =cos^2x$
$-sin^2x+ \frac{1}{2} =0$
$\frac{1}{2} =sin^2x$
$\frac{1}{ \sqrt{2} } =sinx$
$x= (-1)^nArcsin \frac{1}{ \sqrt{2} } + \pi n$
$arcsin( \frac{1}{ \sqrt{2} } )= \frac{ \pi }{4}$

Answer 2

Уравнение cos(2x) + 0.5 = cos^2(x)

Для решения данного уравнения, мы можем использовать тригонометрические тождества и свойства косинуса.

Используя тождество cos(2x) = 1 - 2sin^2(x), мы можем переписать уравнение в следующем виде:

1 - 2sin^2(x) + 0.5 = cos^2(x)

Теперь заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x):

1 - 2sin^2(x) + 0.5 = 1 - sin^2(x)

Упростим уравнение:

-2sin^2(x) + 0.5 = -sin^2(x)

Перенесем все члены в одну сторону:

-sin^2(x) + 2sin^2(x) - 0.5 = 0

Упростим:

sin^2(x) - 0.5 = 0

Теперь заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x):

1 - cos^2(x) - 0.5 = 0

Упростим:

-cos^2(x) + 0.5 = 0

Перенесем все члены в одну сторону:

cos^2(x) - 0.5 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно cos^2(x). Решим его:

cos^2(x) - 0.5 = 0

cos^2(x) = 0.5

cos(x) = ±√(0.5)

cos(x) = ±0.707

Так как мы ищем корни на отрезке [π/2;2π], то нам интересуют только положительные значения cos(x).

cos(x) = 0.707

Теперь найдем значения x, для которых cos(x) равен 0.707 на отрезке [π/2;2π].

Используя тригонометрическую окружность и свойства косинуса, мы можем найти следующие значения x:

x = π/4 + 2πk, где k - целое число

Таким образом, все корни уравнения cos(2x) + 0.5 = cos^2(x), принадлежащие отрезку [π/2;2π], можно записать в виде:

x = π/4 + 2πk, где k - целое число.

Ответ: Корни уравнения cos(2x) + 0.5 = cos^2(x), принадлежащие отрезку [π/2;2π], можно записать в вид