Question

Треугольник ABC задан координатами своих вершин: A(-4;1), B(0;1), C(-2;4).1)Докажите что угол A равен угулу B2)Найдите длину высоты CD треугольника ABC

Answer 1

найдем стороны по формуле расстояния между двумя точками заданными координатами

$BC=\sqrt{(-2-0)^2+(4-1)^2}=\sqrt{13};\\ AC=\sqrt{(-2-(-4))^2+(4-1)^2}=\sqrt{13};$

BC=AC, значит треугольник АВС равнобедренный и угол А=угол В.

 

Высота CD будет также медианой, бисектриссой (свойство высоты равнобедренного треугольника, опущенной на основание)

По формуле координат середины отрезка ищем координаты точки D

$x_D=\frac{-4+0}{2}=-2; y_D=\frac{1+1}{2}=1;$

D(-2;1)

найдем длину высоты по формуле расстояния между двумя точками заданными координатами

$CD=\sqrt{(-2-(-2))^2+(1-4)^2}=3$

Answer 2

Доказательство равенства углов A и B

Для доказательства равенства углов A и B в треугольнике ABC, мы можем использовать свойство равных углов. Если углы прилежащих сторон двух треугольников равны, то эти треугольники равны.

У нас есть треугольник ABC с вершинами A(-4;1), B(0;1) и C(-2;4). Мы должны доказать, что угол A равен углу B.

Для этого, мы можем использовать координаты вершин треугольника. Вектор AB можно найти, вычтя координаты точки A из координат точки B. То же самое можно сделать и для вектора BC.

Вектор AB = (0 - (-4), 1 - 1) = (4, 0) Вектор BC = (-2 - 0, 4 - 1) = (-2, 3)

Найдем скалярное произведение векторов AB и BC

Скалярное произведение двух векторов AB и BC можно найти, умножив соответствующие компоненты векторов и сложив их.

AB * BC = (4 * (-2)) + (0 * 3) = -8

Найдем длины векторов AB и BC

Длина вектора AB может быть найдена с использованием теоремы Пифагора. Длина вектора BC может быть найдена аналогичным образом.

Длина AB = sqrt((4^2) + (0^2)) = sqrt(16) = 4 Длина BC = sqrt((-2^2) + (3^2)) = sqrt(13)

Найдем косинус угла между векторами AB и BC

Косинус угла между двумя векторами AB и BC можно найти, используя формулу:

cos θ = (AB * BC) / (|AB| * |BC|)

где θ - угол между векторами AB и BC, AB * BC - скалярное произведение векторов AB и BC, |AB| и |BC| - длины векторов AB и BC соответственно.

cos θ = -8 / (4 * sqrt(13)) = -8 / (4 * sqrt(13)) = -2 / sqrt(13)

Доказательство равенства углов A и B

Теперь мы можем рассмотреть углы A и B. Угол A можно определить, используя косинус угла между векторами AB и AC. Угол B можно определить, используя косинус угла между векторами BC и BA.

cos A = -2 / sqrt(13) cos B = -2 / sqrt(13)

Так как cos A = cos B, то угол A равен углу B. Таким образом, мы доказали равенство углов A и B в треугольнике ABC.

Нахождение длины высоты CD треугольника ABC

Для нахождения длины высоты треугольника CD, мы можем использовать формулу для площади треугольника и известные длины его сторон.

Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу Герона:

s = (a + b + c) / 2

где a, b и c - длины сторон треугольника ABC, s - полупериметр треугольника.

Длина сторон треугольника ABC: AB = 4 BC = sqrt(13) AC = sqrt((-4 - (-2))^2 + (1 - 4)^2) = sqrt(4 + 9) = sqrt(13)

Полупериметр треугольника ABC: s = (4 + sqrt(13) + sqrt(13)) / 2 = (4 + 2*sqrt(13)) / 2 = 2 + sqrt(13)

Площадь треугольника ABC: S = sqrt(s * (s - AB) * (s - BC) * (s - AC)) = sqrt((2 + sqrt(13)) * (2 + sqrt(13) - 4) * (2 + sqrt(13) - sqrt(13)) * (2 + sqrt(13) - sqrt(13)))

Высота треугольника CD: h = (2 * S) / AB = (2 * sqrt((2 + sqrt(13)) * (2 + sqrt(13) - 4) * (2 + sqrt(13) - sqrt(13)) * (2 + sqrt(13) - sqrt(13)))) / 4

Подставляя значения и упрощая выражение, мы можем найти длину высоты CD треугольника ABC.