Question

Треугольник ABC задано координатами его вершин: A( -1;1), B(0;2), C(1;1). Найдите внешний угол при вершине A.

Answer 1

Постройте треугольник на координатной плоскости, и вы увидите, что он равнобедренный и прямоугольный с прямым углом B. (Катеты равны sqrt(2), гипотенуза 2) Тогда угол A равен 45 градусам, а внешний угол равен 135 градусам.

Answer 2

Для нахождения внешнего угла треугольника при вершине A, нам необходимо знать координаты двух соседних вершин, чтобы вычислить векторы сторон треугольника. Затем мы можем использовать формулу скалярного произведения векторов, чтобы найти значение косинуса внешнего угла и далее найти сам угол.

Дано, что вершины треугольника A, B и C заданы координатами:

A(-1, 1) B(0, 2) C(1, 1)

Вычисление векторов сторон треугольника

Пусть AB и AC будут векторами, соответствующими сторонам треугольника.

Вектор AB можно получить, вычислив разность координат вершин B и A:

AB = B - A = (0 - (-1), 2 - 1) = (1, 1)

Вектор AC можно получить, вычислив разность координат вершин C и A:

AC = C - A = (1 - (-1), 1 - 1) = (2, 0)

Вычисление скалярного произведения векторов

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов AB и AC, используя следующую формулу:

AB · AC = |AB| * |AC| * cos(θ)

где |AB| и |AC| - длины векторов AB и AC соответственно, а θ - искомый внешний угол при вершине A.

Длина вектора AB (|AB|) можно вычислить, используя формулу длины вектора:

|AB| = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты концов вектора AB.

Вычислим длину вектора AB:

|AB| = sqrt((1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2) = sqrt(4) = 2

Аналогично, вычислим длину вектора AC:

|AC| = sqrt((1 - (-1))^2 + (1 - 1)^2) = sqrt(4) = 2

Вычисление косинуса внешнего угла

Теперь мы можем вычислить косинус внешнего угла при вершине A, используя формулу скалярного произведения:

AB · AC = |AB| * |AC| * cos(θ)

cos(θ) = (AB · AC) / (|AB| * |AC|)

cos(θ) = ((1, 1) · (2, 0)) / (2 * 2)

cos(θ) = (1 * 2 + 1 * 0) / (2 * 2)

cos(θ) = 2 / 4

cos(θ) = 0.5

Вычисление внешнего угла

Теперь мы можем найти значение внешнего угла при вершине A, используя обратную функцию косинуса (арккосинус) и значение косинуса, которое мы определили ранее:

θ = arccos(0.5)

Используя тригонометрический калькулятор или таблицу значений, мы находим:

θ ≈ 60 градусов

Таким образом, внешний угол при вершине A треугольника ABC составляет около 60 градусов.