Question

докажите что периметр треугольника больше длины вписанной окружности

Answer 1

Мне объясняли так, что вот допустим треугольник АВС. Точки, с которых окр касается сторон треугольника назовем, например, на стороне АВ точка К, на стороне ВС точка Р, на стороне АС точка Н. Ну и теперь чтобы продвинуться от точки К к точки Н, по друге КН  пройдем быстрее, чем по сторонам КА и АН, то есть КА+АН больше дуги КН. ну и так с остальными. НС+СР больше дуги НР. и РВ+КВ больше дуги КВ. И когда сложим и части окр и все части треугольника, получим, то дуга окр меньше периметра треугольника

Answer 2

Чертишь треугольник и вписываешь в него окружность. Соединяя центр последнего с точками касания, делишь треугольник на три части. Берёшь любой из этих частей и делишь наполовину по линии симметрии. Получаешь прямоугольный треугольник, в котором угол при точке О обозначишь через а. Внутри этого треугольника остаётся дуга окружности. Задача сводится к сравнению длины этой дуги с длиной катета, лежащей против угла а. Первая есть Ra, вторая Rtgа. Остаётся доказать, что tga > a...

Answer 3

Для доказательства того, что периметр треугольника больше длины вписанной окружности, давайте рассмотрим следующее:

Пусть у нас есть треугольник со сторонами a, b и c, и пусть радиус вписанной окружности этого треугольника равен r.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон: P = a + b + c.

Длина вписанной окружности можно выразить через радиус r: L = 2πr.

Теперь нам нужно доказать, что P > L.

Используя неравенство треугольника, мы можем сказать, что каждая сторона треугольника должна быть меньше суммы двух других сторон. То есть:

a < b + c b < a + c c < a + b

Теперь сложим все три неравенства:

a + b < 2a + 2b a + c < 2a + 2c b + c < 2b + 2c

Теперь сложим все три неравенства вместе:

(a + b) + (a + c) + (b + c) < 2a + 2b + 2c

Это преобразуется в:

2(a + b + c) < 2(a + b + c)

Таким образом, мы доказали, что периметр треугольника (P) всегда больше длины вписанной окружности (L).