Question

Составьте уравнение окружности касающейся осей координат и проходящей через точку К (2;1)

Answer 1

Если окружность касается осей координат, то её центр находится на биссектрисе прямого угла между осями координат (х = у) и радиус R равен х.
В уравнении окружности можно у и R заменить на х.
Записываем уравнение окружности:
(х-2)²+(х-1)² = x².
x²-4x+4+x²-2x+1 = x².
Получаем квадратное уравнение:
х²-6х+5 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант:
D=(-6)^2-4*1*5=36-4*5=36-20=16;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:    
x₁=(√16-(-6))/(2*1)=(4-(-6))/2=(4+6)/2=10/2=5;    x₂=(-√16-(-6))/(2*1)=(-4-(-6))/2=(-4+6)/2=2/2=1.    

Найдены 2 точки, которые могут быть центрами заданных окружностей.

Ответ: (х-5)²+(у-5)² = 25.
           (х-1)²+(у-1)² = 1.

Answer 2

Уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку К(2;1) можно записать в виде:

(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2

где (a, b) - координаты центра окружности, r - радиус окружности.

Так как окружность касается осей координат, то ее центр будет лежать на пересечении осей, то есть в точке (0, 0).

Также, так как окружность проходит через точку К(2;1), то расстояние от центра окружности до точки К равно радиусу окружности.

Таким образом, уравнение окружности примет вид:

(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = r^2 x^2 + y^2 = r^2

Также, так как расстояние от центра окружности до точки К(2;1) равно радиусу окружности, то уравнение можно записать в виде:

(2 - 0)^2 + (1 - 0)^2 = r^2 2^2 + 1^2 = r^2 4 + 1 = r^2 5 = r^2

Итак, уравнение окружности, касающейся осей координат и проходящей через точку К(2;1) будет:

x^2 + y^2 = 5