Question

помогите, пожалуйста!)) Прямая касается двух окружностей с центрами О и Р в точках А и В соответственно. Через точку С, в которой эти окружности касаются друг друга, проведена их общая касательная, пересекающая прямую АВ в точке М. Найдите РМ, если АВ = 8 и уголСОМ=а.

Answer 1

Эта задача проще, чем кажется.

1. ВМ = МС и МА = МС (по известному свойству касательных, проведенных из одной точки. Дальше я очевидные вещи просто буду констатировать - но это не значит, что вам не надо их обосновывать).

Таким образом, МС = АВ/2.

2. РМ - биссектриса угла ВМС, и МО - биссектриса угла СМА. В сумме эти углы составляют 180 градусов, поэтому сумма углов РМС и СМО равна 90 градусов. То есть треугольник РМО - прямоугольный.

3. Конечно, МС - высота к гипотенузе в этом треугольнике, и угол РМС = угол СОМ = а.

4. Отсюда РМ = МС/cos(а) = AB/(2*cos(a));

5. Это всё :)

 

Между прочим, треугольник АВС тоже прямоугольный :))) не хотите доказать?

Это я так, для себя больше. 

Тут есть способ, который сразу напрашивается - угол ВСМ равен половине угла ВРС, а угол АСМ - половине угла АОС, и углы ВРС и АОС в сумме равны 180 градусов. 

Правильное решение, но есть более простое :) как я уже упоминал ,точки А, В и С равноудалены от точки М, то есть если построить окружность на АВ, как на диаметре, то угол ВСА будет вписанным углом, на него опирающимся. Значит, он прямой.

 

Answer 2

Problem Analysis

We are given two circles with centers O and P at points A and B, respectively. The circles touch each other at point C. A common tangent is drawn through point C, which intersects the line AB at point M. We need to find the length of PM, given that AB = 8 and angle COM = a.

Solution

To solve this problem, we can use the properties of tangents and the fact that the tangent to a circle is perpendicular to the radius at the point of contact.

Let's consider the triangle OCM. Since OC and CM are radii of the circle with center O, triangle OCM is an isosceles triangle. Therefore