Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої параболою y=8 - x^2 і прямою y=4

Answer 1

Находим точки пересечения параболы с осю OX

8-x^2=0

x^2=8

x1=+sqrt(8)

x2=-sqrt(8)

Находим точки пересечения параболы с прямой

8-x^2=4

x^2=4

x1=+2

x2=-2

 

s1=2*int  от 0 до sqrt(8) (8-x^2) dx=2*(8x-x^3/3) от 0 до sqrt(8)=

= 2*(8*sqrt(8)-8*sqrt(8)/3)=2*(16*sqrt(2)-16sqrt(2)/3)=64sqrt(2)/3

 

s2=2*int jn 0 до 2 (8-x^2)dx =2*(8x-x^3/3)  от 0 до 2 =

= 2*(16-8/3)=2*40/3

 

s=s1-s2=64sqrt(2)/3-80/3=(64sqrt(2)-80)/3 

Answer 2

Для того чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой y = 8 - x^2 и прямой y = 4, нам понадобится найти точки пересечения этих двух кривых. Затем мы можем использовать определенный интеграл для вычисления площади между этими точками.

1. Найдем точки пересечения параболы и прямой, приравняв уравнения:

8 - x^2 = 4

Решим это уравнение относительно x:

x^2 = 8 - 4

x^2 = 4

x = ± √4

x = ± 2

Таким образом, точки пересечения находятся при x = -2 и x = 2.

2. Теперь мы имеем две точки пересечения, и мы можем вычислить площадь между ними с использованием определенного интеграла. Поскольку область ограничена сверху параболой и снизу прямой, мы можем записать следующий интеграл:

S = ∫(a, b) (f(x) - g(x)) dx,

где a и b - точки пересечения, f(x) - верхняя функция (парабола), g(x) - нижняя функция (прямая).

В нашем случае, a = -2, b = 2, f(x) = 8 - x^2 и g(x) = 4. Подставляя значения, получаем:

S = ∫(-2, 2) ((8 - x^2) - 4) dx

3. Теперь вычислим этот определенный интеграл:

S = ∫(-2, 2) (4 - x^2) dx

Для упрощения интегрирования, раскроем скобки:

S = ∫(-2, 2) (4 - x^2) dx = ∫(-2, 2) 4 dx - ∫(-2, 2) x^2 dx

Интеграл ∫(-2, 2) 4 dx равен 4 * (2 - (-2)) = 4 * 4 = 16.

Чтобы вычислить интеграл ∫(-2, 2) x^2 dx, мы можем использовать формулу для интеграла функции x^n:

∫ x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C,

где C - постоянная интегрирования.

Применяя эту формулу, получим:

∫(-2, 2) x^2 dx = [(x^(2+1)) / (2+1)] | (-2, 2) = [(x^3) / 3] | (-2, 2) = [(2^3) / 3] - [((-2)^3) / 3] = (8 / 3) - (-8 / 3) = 16 / 3

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой y = 8 - x^2 и прямой y = 4, равна:

S = ∫(-2, 2) (4 - x^2) dx = 16 - (16 / 3) = (48 - 16) / 3 = 32 / 3.

Таким образом, площадь фигуры равна 32 / 3 или приближенно 10.67 квадратных единиц.