Question

Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:3, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 10.

Answer 1

           B                          C

 

 

A                E            Д

 

угол СВЕ(АВЕ)=углуВЕА -внутренние накрестлежащие. Треугольник ВАЕ-равнобедренный и АВ=АЕ=1 части. ДЕ-3 части. Тогда АД=4части. Пусть 1 часть х:

2*(х+4х)=10

10х=10

х=1, большая сторона АД (ВС) равна 4*1=4

Answer 2

Для начала, давайте обозначим большую сторону параллелограмма за \( a \) и меньшую сторону за \( b \). Поскольку биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 1:3, мы можем представить расстояние от точки пересечения биссектрисы и противоположной стороны до каждого из концов этой стороны как 3x и x соответственно.

Теперь мы можем составить уравнения для периметра параллелограмма и для отношения сторон. Поскольку периметр равен 10, мы можем записать:

\[ 2a + 2b = 10 \] \[ a + b = 5 \]

Теперь, используя теорему Пифагора, мы можем выразить стороны \( a \) и \( b \) через \( x \):

\[ a^2 = x^2 + 9x^2 = 10x^2 \] \[ b^2 = 9x^2 \]

Теперь мы знаем, что \( a^2 + b^2 = 10x^2 + 9x^2 = 19x^2 \). Так как \( a + b = 5 \), мы можем выразить \( b \) через \( a \):

\[ b = 5 - a \]

Подставим это выражение в уравнение для \( b^2 \):

\[ (5 - a)^2 = 9x^2 \] \[ 25 - 10a + a^2 = 9x^2 \]

Теперь мы можем выразить \( a^2 \) через \( x^2 \) и подставить в уравнение для \( a^2 + b^2 \):

\[ a^2 = 10x^2 - 9x^2 = x^2 \] \[ b^2 = 9x^2 \] \[ a^2 + b^2 = x^2 + 9x^2 = 10x^2 \]

Подставим \( a^2 \) и \( b^2 \) в уравнение для периметра:

\[ x^2 + 9x^2 = 10x^2 \] \[ 10x^2 = 10 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = 1 \]

Теперь, найдем \( a \) и \( b \):

\[ a = \sqrt{10x^2} = \sqrt{10} \] \[ b = \sqrt{9x^2} = 3 \]

Таким образом, большая сторона параллелограмма равна \( \sqrt{10} \), что примерно равно 3.16.