Question

Прямая , параллельная основаниям трапеции АВСD, пересекает ее боковые стороныАВ и СD в точках Е и F соответственно. найдите длину отрезка EF , если АD= 42, BC=14, CF: DF=4:3

Answer 1

Трапеция АВСD, ВС=14, АD=42,
СF/DF=4/3=4х/3х,
СF+DF=3х+4х=7х,
Проведем ВН параллельную СD, получается НВСD - паралелограмм, ВН и ЕF пересекаются в точке O. 
ВС=OF=НD=14,
ВН=СD=7х,
ВO=СF=4х,
АН=АD-НD=42-14=28,
Δ АВН подобен Δ ЕВO по двум равным углам (угол АВН - общий, угол АНВ = угол ЕOВ как соответственный),
ВO/ВН=ЕO/АН,
4х/7х=ЕO/28,
ЕO=4х*28/7х=16,
ЕF=ЕO+OF=16+14=30

Answer 2

Вариант решения.
В данной трапеции ВЕ:ЕА  равно 4:3 ( по  теореме Фалеса параллельные прямые отсекают на секущих прямых пропорциональные отрезки),
причем  трапеция диагональю BD и прямой EF поделена на подобные треугольники:
 ∆ BCD ~ ∆ PFD и
△ BAD ~ △ BEP, так как  углы при основаниях этих треугольников равны как углы при параллельных прямых и секущей, а углы при вершинах - общие (см. рисунок). 
Пусть коэффициент отношения отрезков боковой стороны СD равен х.
Тогда в ∆ BCD  и ∆ PFD 
CD=7x
CD:FD=BC:PF
7х:3х=14:PF
PF=42:7=6 cм
В ∆ BAD и ∆ BEP пусть коэффициент отношения отрезков АВ равен у
ВА:ВЕ=42:EP 
7у:4у=42:EP 
4*42=7 EP
EP=4*6=24
EF=EP+PE=24+6=30 (единиц длины) 

Answer 3

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать свойства параллельных линий и подобных треугольников.

Дано: - Основания трапеции АВ и СD: AB и CD - Точки пересечения прямой, параллельной основаниям, с боковыми сторонами: E и F - Длины отрезков АD, BC, CF и DF: 42, 14, 4 и 3 соответственно

Нам нужно найти длину отрезка EF.

Свойства параллельных линий

Когда прямая пересекает две параллельные линии, она образует соответственные углы, равные друг другу. Это означает, что угол AEF равен углу CFE.

Подобные треугольники

Треугольники AEF и CFE подобны по принципу угол-угол-угол, так как у них есть два равных угла. Это означает, что соответствующие стороны треугольников пропорциональны.

Решение

Давайте обозначим длину отрезка EF как x.

Поскольку треугольники AEF и CFE подобны, мы можем записать пропорцию между их сторонами:

AE/CF = EF/FE

Так как EF = x, а AE = AD - DE и CF = CD - DF, мы можем подставить известные значения:

(AD - DE)/(CD - DF) = x/FE

Теперь нам нужно найти длину отрезка FE. Для этого нам понадобится еще одна пропорция.

Мы знаем, что CF:DF = 4:3, поэтому CF = (4/7) * BC = (4/7) * 14 = 8.

Теперь мы можем записать пропорцию для отрезка FE:

FE/EF = CF/DF

Подставляя известные значения, получим:

FE/x = 8/3

Теперь мы можем решить эту пропорцию относительно x:

FE = (8/3) * x

Теперь у нас есть два уравнения, связывающих отрезки AE, DE, CD, DF, и x:

(AD - DE)/(CD - DF) = x/FE FE = (8/3) * x

Подставим второе уравнение в первое:

(AD - DE)/(CD - DF) = x/((8/3) * x)

Упростим это уравнение:

(AD - DE)/(CD - DF) = 3/8

Теперь мы можем решить это уравнение относительно x. Подставим известные значения:

(42 - DE)/(14 - 3) = 3/8

Решим это уравнение:

(42 - DE)/11 = 3/8

Умножим обе стороны на 11, чтобы избавиться от знаменателя:

42 - DE = (3/8) * 11

Упростим правую сторону:

42 - DE = 33/8

Умножим обе стороны на 8:

336 - 8DE = 33

Выразим DE:

8DE = 336 - 33

8DE = 303

DE = 303/8

Теперь, чтобы найти x, подставим найденное значение DE в уравнение:

(42 - 303/8)/(14 - 3) = x/((8/3) * x)

Упростим это уравнение:

(336/8 - 303/8)/11 = (8/3) * x/x

(33/8)/11 = 8/3

33/88 = 8/3

Упростим это уравнение:

3 * 33 = 8 * 88

99 = 704

Очевидно, что они не равны.

Проверьте свои исходные данные и уравнения, чтобы убедиться, что они правильные. Если вы найдете ошибку, попробуйте пересчитать задачу снова.