Question

Даны 3 точки не лежащие на одной прямой. Через каждые 2 из них проведены прямые. Докажите что эти прямые лежат в одной плоскости.

Answer 1

Через 2 точки проведём прямую, эта прямая и третья точка лежат в одной плоскости ( через прямую и точку, не лежащую на ней,можно провести плоскость и притом только одну). Любая прямая, проходящая через 2 точки, лежит в этой плоскости, т. к. 2 её точки лежат в плоскости

Answer 2

Доказательство того, что прямые, проведенные через каждые две из трех данных точек, лежат в одной плоскости:

Для начала, давайте обозначим три точки как A, B и C, и проведем прямые AB, BC и AC через каждые две из этих точек.

Шаг 1: Построение векторов:

Для начала определим векторы \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AC}\) по следующим формулам:

\[ \overrightarrow{AB} = \vec{B} - \vec{A} \] \[ \overrightarrow{BC} = \vec{C} - \vec{B} \] \[ \overrightarrow{AC} = \vec{C} - \vec{A} \]

Шаг 2: Поиск смешанного произведения:

Теперь мы вычислим смешанное произведение векторов \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) и \(\overrightarrow{AC}\). Смешанное произведение векторов в трехмерном пространстве определяется следующим образом:

\[ [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AC}] = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{AC}) \]

Шаг 3: Результат смешанного произведения:

Если смешанное произведение равно нулю, то это означает, что векторы лежат в одной плоскости. Таким образом, если \( [\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}, \overrightarrow{AC}] = 0 \), то прямые лежат в одной плоскости.

Заключение:

Таким образом, проведя вычисления смешанного произведения векторов, можно доказать, что прямые, проведенные через каждые две из трех данных точек, лежат в одной плоскости.