Question

В окружности проведены три попарно соединяющиеся хорды. Длина одной из них равна а. Точки пересечения делят каждую хорду на три части, средняя из которых в два раза больше каждой из двух остальных частей. Найдите радиус окружности.

Answer 1

Простым перемножением длин отрезков легко показать, что все хорды равны. Отсюда сразу следует, что углы между ними 60 градусов. "Средние" части хорд (у которых длина а/2) образуют равносторонний треугольник. Из соображений симметрии понятно, что центр этого треугольника совпадает с центром нашей окружности (а где еще могут пересекаться перпендикуляры через середины "СРЕДНИХ" ЧАСТЕЙ :))) Нас интересует расстояние до хорды, которое равно радиусу окружности, вписанной в этот треугольник, то есть d = a*корень(3)/12; (напоминаю, что треугольник имеет стороны a/2)

Теперь, зная расстояние от хорды длины а, мы можем вычислить радиус.

R^2 = (a/2)^2 + d^2 = a^2*(1/4 + 3/144) = a^2*39/144; R = a*корень(39)/12;