Question

Точки M, N, P, Q лежат на сторонах AD, AB, BC, CD параллелограмма ABCD соответственно так что AM/AD = AN/AB = PC/BC = CQ/CD = 1/3. Докажите, что MNPQ - параллелограмм.

Answer 1

Т.к. противоположные стороны параллелограмма равны, т.е. AD=BC, а AM/AD=PC/BC=1/3, то МА=РС. также доказывается равенство AN=CQ. Т.о. треугольники MAN=PCQ по двум сторонам и углу между ними. следовательно MN=QP. Таким же образом доказывается равенство треугольников NBP=QDM и равенство отрезков QM=NP. Т.к. отрезки MN=PQ, а также NP=QM, следовательно, четырехугольник MNPQ является параллелограммом по попарному равенству противоположных сторон.