Question

Сторона прямоугольника вдвое меньше диагонали.Найдите острый угол между диагоналями прямоугольника

Answer 1

См. вложение. 

Пусть АВ=х, тогда по условию задачи АС=2х. 
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС.
В нём катет АВ в два раза меньше гипотенузы АС. Значит угол АСВ=30. 
Соответственно угол САВ=60.

Таким же образом диагональ ВD делит углы прямоугольника. 

Следовательно, угол ВОА = углу СОD = 60. (Острые углы при пересечении диагоналей). 

Ответ: угол ВОА = 60.

Answer 2

Давайте обозначим стороны прямоугольника как \(a\) и \(b\), где \(a\) — это меньшая сторона, а \(b\) — большая. Пусть \(d\) — диагональ прямоугольника.

Условие задачи гласит, что сторона прямоугольника вдвое меньше диагонали, что можно записать уравнением:

\[a = \frac{d}{2}.\]

Также, с использованием теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника, можно записать уравнение:

\[d^2 = a^2 + b^2.\]

Теперь мы можем выразить \(a\) через \(d\) в уравнении Пифагора:

\[d^2 = \left(\frac{d}{2}\right)^2 + b^2.\]

Решим это уравнение для нахождения \(b\):

\[d^2 = \frac{d^2}{4} + b^2.\]

Умножим обе стороны на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[4d^2 = d^2 + 4b^2.\]

Выразим \(b^2\):

\[4b^2 = 3d^2.\]

Теперь найдем \(b\):

\[b = \sqrt{\frac{3}{4}d^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}d.\]

Теперь мы знаем стороны прямоугольника: \(a = \frac{d}{2}\) и \(b = \frac{\sqrt{3}}{2}d\).

Для нахождения острого угла между диагоналями воспользуемся косинусом угла между векторами диагоналей. Пусть \(\theta\) — угол между диагоналями. Тогда косинус угла \(\theta\) можно выразить как:

\[\cos(\theta) = \frac{\vec{d_1} \cdot \vec{d_2}}{\|\vec{d_1}\| \cdot \|\vec{d_2}\|}.\]

Где \(\vec{d_1}\) и \(\vec{d_2}\) — векторы, представляющие диагонали прямоугольника. Для нашего случая:

\[\cos(\theta) = \frac{\langle a, b \rangle}{\|a\| \cdot \|b\|}.\]

Подставим значения \(a\) и \(b\):

\[\cos(\theta) = \frac{\left\langle \frac{d}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}d \right\rangle}{\left\| \frac{d}{2} \right\| \cdot \left\| \frac{\sqrt{3}}{2}d \right\|}.\]

Выполним вычисления:

\[\cos(\theta) = \frac{\frac{d^2}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}d^2}{\frac{d}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}d}.\]

Упростим выражение:

\[\cos(\theta) = \frac{\frac{d^2}{4} + \frac{\sqrt{3}}{2}d^2}{\frac{\sqrt{3}}{4}d^2}.\]

Сократим общий множитель \(\frac{d^2}{4}\):

\[\cos(\theta) = \frac{1 + 2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}.\]

Умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\), чтобы избавиться от дроби в знаменателе:

\[\cos(\theta) = \frac{\sqrt{3} + 2 \cdot 3}{3}.\]

Упростим выражение:

\[\cos(\theta) = \frac{\sqrt{3} + 6}{3}.\]

Теперь у нас есть значение \(\cos(\theta)\). Чтобы найти угол \(\theta\), возьмем арккосинус от полученного значения:

\[\theta = \arccos\left(\frac{\sqrt{3} + 6}{3}\right).\]

Это значение угла между диагоналями прямоугольника.