Question

Дана правильная 4-х угольная пирамида ABCDS. Высота = 16, сторона основания = 8. Найти: боковое ребро пирамиды, угол наклона бокового ребра к плоскости основания. Доказать: SC перпендикуляр BD

Answer 1

Диагональ основания = 8√2. Рассмотрит треугольник АSO, где О эта середина диагонали основания. SO=16, AO=4√2 тогда по теореме Пифагора АS=√SO²+AO²=√16²+32=12√2

Answer 2

Давайте рассмотрим данную правильную четырехугольную пирамиду ABCDS.

Известно, что сторона основания равна 8, а высота равна 16.

1. Нахождение бокового ребра пирамиды (AC):

Поскольку пирамида ABCDS правильная, боковые грани треугольные и равнобедренные. Поэтому мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длины бокового ребра (AC).

\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]

Так как ABC - равнобедренный прямоугольный треугольник (пирамидальная боковая грань), и сторона основания равна 8, то \(AB = BC = 8/2 = 4\).

\[ AC = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \]

Таким образом, боковое ребро пирамиды AC равно \(4\sqrt{2}\).

2. Нахождение угла наклона бокового ребра к плоскости основания:

Поскольку ABC - равнобедренный прямоугольный треугольник, то угол наклона бокового ребра к плоскости основания (угол ABC) равен половине угла при вершине (вершине пирамиды). Таким образом, угол ABC равен половине угла при вершине пирамиды.

\[ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \arctan\left(\frac{BC}{AB}\right) \]

\[ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \arctan\left(\frac{4}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \arctan(1) \]

Так как \(\arctan(1) = \frac{\pi}{4}\), то

\[ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} \]

Таким образом, угол наклона бокового ребра к плоскости основания равен \(\frac{\pi}{8}\).

3. Доказательство SC перпендикулярна BD:

Для доказательства того, что SC перпендикулярна BD, мы можем воспользоваться тем фактом, что в правильной четырехугольной пирамиде боковые ребра равны и образуют равнобедренные треугольники.

Таким образом, треугольник SBC (равнобедренный треугольник с боковым ребром SC и боковыми ребрами SB и BC) и треугольник DBC (равнобедренный треугольник с боковым ребром DB и боковыми ребрами DC и BC) равны и подобны, так как у них совпадают соответствующие углы и отношение длин сторон равно.

Таким образом, углы SBC и DBC равны. Но угол DBC - это угол наклона бокового ребра к плоскости основания, который мы обозначили как \(\angle ABC\).

Таким образом, углы SBC и ABC равны. А угол ABC, как мы вычислили, равен \(\frac{\pi}{8}\).

Теперь рассмотрим угол SCD. Так как ABCD - квадрат, то угол SCD равен прямому углу.

Итак, у нас есть два угла: \(\angle SCD\) и \(\angle SBC\), которые равны. Один из них равен прямому углу, а другой равен \(\frac{\pi}{8}\). Значит, третий угол в треугольнике SCD также равен \(\frac{\pi}{8}\).

Таким образом, углы SBC и SCD равны и составляют прямой угол.

Таким образом, SC перпендикулярна BD.