Question

Докажите,что медиана треугольника разбивает его на два треугольника одинаковой площади

Answer 1

Возьмем треугольник ABC с основанием АС. Проведем медиану ВМ. Тогда АМ=МС, ВМ - общая.  угол AMB обозначим α, угол ИЬС - β. Т.к угол AMC развернутый, то β=(180-α)  Sin β= Sin(180-α)  = Sin α
S АВМ=0.5*AM*BM*Sin α
S BMC=0.5*BM*MC*Sinα , а т.к. MC=AM⇒ SBMC=0.5*AM*BM*Sin α
Ч.т.д.

Answer 2

Медиана треугольника и его разделение на два треугольника одинаковой площади

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Для доказательства того, что медиана треугольника разбивает его на два треугольника одинаковой площади, мы можем использовать геометрические свойства треугольника и площадей.

Доказательство:

Пусть ABC - треугольник, а M - середина стороны BC. Нам нужно доказать, что площадь треугольника ABM равна площади треугольника ACM.

1. Построим высоту BH, опущенную из вершины B на сторону AC. Также построим высоту CK, опущенную из вершины C на сторону AB.

2. Обозначим точку пересечения медианы AM и высоты BH как точку P.

3. Также обозначим точку пересечения медианы AM и высоты CK как точку Q.

4. Так как M - середина стороны BC, то BM = MC.

5. Также, так как BH и CK - высоты, то BH = CH.

6. Из пункта 4 и пункта 5 следует, что треугольники BHP и CHP равны по сторонам и углам, так как у них равны соответствующие стороны и прямые углы.

7. Также, так как AM - медиана, то BM = MC, и следовательно, треугольники ABM и ACM равны по сторонам и углам, так как у них равны соответствующие стороны и прямые углы.

8. Из пункта 6 и пункта 7 следует, что треугольники BHP и CHP равны по сторонам и углам треугольникам ABM и ACM.

9. Так как треугольники BHP и CHP равны, то их площади также равны.

10. Также, так как треугольники ABM и ACM равны, то их площади также равны.

11. Из пункта 9 и пункта 10 следует, что площадь треугольника ABM равна площади треугольника ACM.

Таким образом, мы доказали, что медиана треугольника разбивает его на два треугольника одинаковой площади.