Question

В окружность с центром O вписан четырехугольник ABCD, отличный от трапеции. Пусть M — точка пересечения диагоналей, K — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников BMC и DMA, L — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников AMB и CMD, где K, L и M различные точки. Докажите, что вокруг четырехугольника OLMK можно описать окружность.

Answer 1

Олимпиада по математике?

Answer 2

Для доказательства того, что вокруг четырехугольника OLMK можно описать окружность, нужно показать, что угол OMK равен углу OLM.

Рассмотрим треугольники BMC и DMA, описанные около окружностей. Так как треугольник BMC описан около окружности, то угол BMC равен 180° - углу KMC (угловая окружность). Аналогично, угол DMA равен 180° - углу LMD.

Так как четырехугольник ABCD отличается от трапеции, то диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Значит, угол OMC равен углу OMD.

Из этого следует, что угол OMK равен углу OLM.

Таким образом, углы OMK и OLM равны, что означает, что треугольник OMK равнобедренный. А это значит, что существует окружность, описанная вокруг четырехугольника OLMK.