Question

В треугольнике АBC AM - медиана. На стороне AB поставили точку K так, что AK:KB=2:3. В каком соотношении медиана AM делит отрезок CK?

Answer 1

Идея (которая обычно забывается))) достроить треугольник до параллелограмма...
если продолжить медиану на ее же длину (взять отрезок на медиане в 2 раза больший, чем медиана) --- получим параллелограмм, т.к. диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам)))
из параллельности получим накрест лежащие (равные) углы и подобие треугольников)))
отрезок СК делится медианой в отношении 5:2 (считая от С)))

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойством медианы в треугольнике:

Медиана треугольника делит сторону, на которой она находится, в отношении 2:1.

Поскольку медиана AM является медианой треугольника ABC, она делит сторону BC в отношении 2:1. То есть, AM делит отрезок CK в таком же отношении.

Поскольку AK:KB=2:3, мы можем представить отрезок CK как сумму AK и KB: CK = AK + KB.

Таким образом, отношение, в котором медиана AM делит отрезок CK, будет следующим: AM:CK = AK:(AK + KB).

Заметим, что AK + KB = AB. Известно, что BC = AK + CK.

Подставим это в выражение для отношения медианы AM и отрезка CK: AM:CK = AK:(AK + KB) = AK:(AK + AB - AK) = AK:(BC - AK).

Таким образом, медиана AM делит отрезок CK в отношении AK:(BC - AK).

Ответ: Медиана AM делит отрезок CK в отношении AK:(BC - AK).