Question

При каких значениях m треугольник, вершины которого расположены в точках А(1; 3), В(2; -1), С(4; m), является равнобед­ренным?

Answer 1

Решение смотри во вложении:

Answer 2

Чтобы треугольник был равнобедренным, необходимо, чтобы две его стороны были равны. Рассмотрим стороны треугольника AB, AC и BC. Сторона AB: AB = √[(2-1)^2 + ((-1)-3)^2] = √[1 + 16] = √17 Сторона AC: AC = √[(4-1)^2 + (m-3)^2] = √[9 + (m-3)^2] = √(9 + m^2 - 6m + 9) = √(m^2 - 6m + 18) Сторона BC: BC = √[(4-2)^2 + (m-(-1))^2] = √[4 + (m+1)^2] = √(4 + m^2 + 2m + 1) = √(m^2 + 2m + 5) Теперь у нас есть выражения для трех сторон треугольника. Чтобы треугольник был равнобедренным, две из трех сторон должны быть равными. Значит, возможны две ситуации: 1) AB = AC: √17 = √(m^2 - 6m + 18) Возводим обе части уравнения в квадрат: 17 = m^2 - 6m + 18 Переносим все в одну сторону уравнения: m^2 - 6m + 18 - 17 = 0 m^2 - 6m + 1 = 0 (м^2 - м + 1)(m - 1) = 0 m = 1 или m = 1 - √3 или m = 1 + √3

2) AB = BC: √17 = √(m^2 + 2m + 5) Возводим обе части уравнения в квадрат: 17 = m^2 + 2m + 5 Переносим все в одну сторону уравнения: m^2 + 2m + 5 - 17 = 0 m^2 + 2m - 12 = 0 (m - 2)(m + 6) = 0 m = 2 или m = -6

Итак, треугольник будет равнобедренным при значениях m = 1, m = 1 - √3, m = 1 + √3, m = 2 и m = -6.