Question

Один из углов параллелограмма равен 45°. Высота параллелограмма, проведенная из вершины его тупого угла, равна 5 см, делит сторону параллелограмма пополам. Найдите длину этой стороны, углы, которые образует диагональ, соединяющая тупые углы параллелограмма и длину этой диагонали.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Давайте обозначим параллелограмм ABCD, где угол A равен 45°, высота из вершины A проведена к стороне BC и делит её пополам. Пусть высота обозначена как h, а сторона BC как a.

Так как высота делит сторону BC пополам, то BC = 2h.

Также, угол A равен 45°, и параллелограмм имеет противоположные углы, равные друг другу. Таким образом, угол B тоже равен 45°.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABH (где H - середина стороны BC), и мы знаем, что угол B равен 45°, а высота AH равна 5 см.

Так как тангенс угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего к прилежащему катету, мы можем записать:

\[ \tan(45°) = \frac{h}{\frac{a}{2}} \]

Так как \(\tan(45°) = 1\), у нас есть:

\[ 1 = \frac{h}{\frac{a}{2}} \]

Решим это уравнение относительно h:

\[ h = \frac{a}{2} \]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[ BC = 2h \] \[ h = \frac{a}{2} \]

Подставим второе уравнение в первое:

\[ BC = 2 \left( \frac{a}{2} \right) \]

\[ BC = a \]

Таким образом, сторона BC равна a.

Теперь давайте рассмотрим диагональ параллелограмма. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

Так как у нас есть прямоугольный треугольник AOB с прямым углом в точке O, и угол B равен 45°, то угол AOB равен 90°.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике AOB:

\[ AB^2 + BO^2 = OA^2 \]

Мы уже знаем, что AB (сторона параллелограмма) равна a. Мы также знаем, что BO (половина диагонали) равно половине стороны BC, то есть \(\frac{a}{2}\).

Теперь давайте обозначим OA как d (длина диагонали). Тогда:

\[ a^2 + \left( \frac{a}{2} \right)^2 = d^2 \]

\[ a^2 + \frac{a^2}{4} = d^2 \]

\[ \frac{5a^2}{4} = d^2 \]

\[ d = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} \]

Таким образом, длина диагонали равна \(\sqrt{\frac{5a^2}{4}}\).

Суммируем результаты:

1. Сторона параллелограмма BC равна \(a\). 2. Длина диагонали, соединяющей тупые углы параллелограмма, равна \(\sqrt{\frac{5a^2}{4}}\). 3. Угол B равен 45°. 4. Угол A равен 45°.