Question

Буду безумно признательна тому,кто поможет с решением) В правильной треугольной пирамиде боковые грани наклонены к основанию под углом 60 градусов. В эту пирамиду вписан шар радиуса R. 1. найти площадь бок. поверхности пирамиды. 2. Найти длину окружности, по которой поверхность шара касается боковых граней пирамиды. Заранее большое спасибо

Answer 1

АК должно проходить через точку Н
SH -высота пирамиды, Так как все грани наклонены под одинаковым углом к основанию, то Н- центр вписанной окружности. Проведем SK перпендикулярно ВС. По теореме о трех перпендикулярах НК тоже перпендикулярно ВС. Угол SKH - линейный угол двугранного угла между боковой гранью и пл. основания и поэтому угол SKH=60
НК одновременно будет радиусом вписанной окружности треугольника АВС. Плоскость SHK перпендикулярна ВС и следовательно грани SBC, поэтому шар будет касаться грани SВС в точке принадлежащей SK.
Пусть центр шара - точка О
Сделаем выносной чертеж плоскости SHK. ОМ перпендикулярно SK ОМ=OH=R. М - точка касания шара и боковой грани. MO1 перпендикулярно SH. O1M это будет радиус окружности, проходящей через точки касания. ОК является биссектрисой угла SKH=> угол OKH=30
Из треугольника ОНК: ОН/НК=tg30, HK=R*sqrt(3)
HK/SK=cos60 => SK=2Rsqrt(3) (или катет против угла в 30 градусов) -апофема бококвой грани найдена. Одновременно мы нашли и КМ=НК=R*sqrt(3). Значит SM=R*sqrt(3)
А тогда из подобия треугольников SMO1 и SKH следует, что O1M=(1/2)HK=(R*sqrt(3))/2
Тогда длина окружности проходящей через точки касания равна 2*pi*(R*sqrt(3))/2...

Answer 2

Решение:

Для решения задачи, нам понадобится использовать геометрические свойства треугольной пирамиды и шара.

1. Найти площадь боковой поверхности пирамиды:

Площадь боковой поверхности пирамиды можно найти, используя формулу:

S = L * P / 2

где S - площадь боковой поверхности, L - длина ребра пирамиды, P - периметр основания пирамиды.

В данной задаче, у нас треугольное основание, поэтому периметр основания можно найти, умножив длину одной стороны на 3.

Также, нам дан угол наклона боковых граней к основанию, который составляет 60 градусов. Это означает, что каждая боковая грань треугольной пирамиды будет иметь форму равностороннего треугольника.

Таким образом, мы можем найти длину ребра пирамиды, используя теорему косинусов для треугольника:

L = 2R * cos(30°) = 2R * (√3 / 2) = R * √3

Теперь, мы можем найти периметр основания пирамиды:

P = 3 * L = 3 * (R * √3) = 3R * √3

Подставляем значения в формулу для площади боковой поверхности:

S = (R * √3) * (3R * √3) / 2 = 9R^2 * √3 / 2

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды равна 9R^2 * √3 / 2.

2. Найти длину окружности, по которой поверхность шара касается боковых граней пирамиды:

Для нахождения длины окружности, по которой поверхность шара касается боковых граней пирамиды, нам понадобится найти высоту пирамиды.

Высоту пирамиды можно найти, используя формулу:

h = R * √2

Теперь, используя высоту пирамиды, мы можем найти радиус окружности, по которой поверхность шара касается боковых граней пирамиды.

Радиус окружности можно найти, используя формулу:

r = R * sin(30°) = R * (1/2)

Теперь мы можем найти длину окружности, используя радиус:

C = 2 * π * r = 2 * π * (R * (1/2)) = π * R

Таким образом, длина окружности, по которой поверхность шара касается боковых граней пирамиды, равна πR.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.