Question

В равнобедренном треугольнике биссектриса угла при основании делит боковую на отрезки 8 см и 12 см, начиная от вершины, которая противоположная основанию. Найдите радиус круга, вписанного в треугольник.

Answer 1

Боковая сторона равна : 8+12=20
Боковая сторона/основание =8/12
Основание=12*20/8=6*5=30
Квадрат высоты к основанию =400-225=175=25*7
Площадь треугольника 5*10*sqrt(7)
Периметр Р=70
Радиус*70/2=50*sqrt(7)
   Радиус =10sqrt(7)/7

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойство биссектрисы в равнобедренном треугольнике, которое гласит, что биссектриса угла при основании делит его противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные другим двум сторонам треугольника.

Обозначим боковые стороны равнобедренного треугольника как \( a \), \( b \) и \( c \), где \( a = b \) и \( c \) - основание. Пусть \( BD \) - биссектриса угла при основании, где \( D \) - точка деления боковой стороны на отрезки длиной \( 8 \) см и \( 12 \) см.

Согласно свойству биссектрисы: \[ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} \]

Мы знаем, что \( AD = 12 \) см, \( DC = 8 \) см, \( AB = AC \) (так как треугольник равнобедренный), и \( BC = a \).

Теперь мы можем записать уравнение: \[ \frac{12}{8} = \frac{AB}{a} \]

Упростим: \[ \frac{3}{2} = \frac{AB}{a} \]

Теперь можем выразить \( AB \): \[ AB = \frac{3}{2}a \]

Также у нас есть связь между радиусом вписанной окружности \( r \) и сторонами треугольника: \[ r = \sqrt{\frac{(s - a)(s - b)}{s}} \]

где \( s \) - полупериметр треугольника, который можно выразить как \( s = \frac{a + b + c}{2} \).

В нашем случае \( a = b \), поэтому \( s = \frac{2a + c}{2} = a + \frac{c}{2} \).

Теперь можем выразить \( r \): \[ r = \sqrt{\frac{\left(a + \frac{c}{2} - a\right)\left(a - a\right)}{a + \frac{c}{2}}} \]

Упростим: \[ r = \sqrt{\frac{\frac{c}{2}}{\frac{3}{2}a}} \]

Теперь подставим \( c = AB = \frac{3}{2}a \): \[ r = \sqrt{\frac{\frac{\frac{3}{2}a}{2}}{\frac{3}{2}a}} \]

Упростим и уберем дроби: \[ r = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен \( \frac{1}{2} \) см.