Question

Центры вписанной и описанной около равностороннего треугольника окружностей совпадают. Доказать, что при этом радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной.

Answer 1

Центры вписанной и описанной около равностороннего треугольника окружностей совпадают. Доказать, что при этом радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной.

Answer 2

Центры вписанной и описанной около равностороннего треугольника окружностей совпадают

Для начала, давайте определим, что такое вписанная и описанная окружности в равностороннем треугольнике.

Вписанная окружность - это окружность, которая касается всех трех сторон треугольника.

Описанная окружность - это окружность, которая проходит через все вершины треугольника.

Теперь, чтобы доказать, что центры вписанной и описанной окружностей совпадают в равностороннем треугольнике, мы можем использовать следующий аргумент:

В равностороннем треугольнике все стороны равны, а углы равны 60 градусов. Также известно, что центр описанной окружности лежит на перпендикулярной биссектрисе любого угла треугольника. В равностороннем треугольнике все биссектрисы являются медианами и высотами, а также перпендикулярны сторонам треугольника. Таким образом, центр описанной окружности совпадает с центром равностороннего треугольника.

Теперь, чтобы доказать, что радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности, мы можем использовать следующий аргумент:

В равностороннем треугольнике, радиус вписанной окружности равен половине стороны треугольника, а радиус описанной окружности равен трети стороны треугольника. Таким образом, радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.

Таким образом, мы доказали, что в равностороннем треугольнике центры вписанной и описанной окружностей совпадают, а радиус описанной окружности в 2 раза больше радиуса вписанной окружности.