Question

Прошууу помогитееееее В равнобедренную трапецию с основаниями 1 см и 9 см вписана окружность. Найдите площадь круга ограниченного этой окружность

Answer 1

Точка касания окружности и боковой стороны делит боковую сторону на два отрезка, а и в, каждый из которых равен половине прилежащей стороны а = 1 : 2 = 0,5(см) и в = 9 : 2 = 4,5(см).
Радиус вписанной окружности равен среднему геометрическому этих отрехков
r² = a · в = 0,5 · 4,5 = 2,25(см²)
Площадь круга радиуса r равна
Sкр = πr² = 2,25π (cм²_
Ответ: 2,25π см²

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно.

У нас есть равнобедренная трапеция с основаниями 1 см и 9 см, вписанная окружностью. Обозначим данную трапецию ABCD, где AB = 1 см, CD = 9 см, и O - центр вписанной окружности.

Так как окружность вписана в трапецию, то касательные из точек A и B (оснований) к центральной окружности равны по длине. То же самое относится и к касательным из точек C и D. Обозначим точки касания как E и F (по соответствию, AE = BF и CE = DF).

Теперь, обозначим полупериметр трапеции как \(s\). Тогда:

\[ s = \frac{AB + CD}{2} = \frac{1 + 9}{2} = 5 \, \text{см} \]

Согласно свойствам вписанной окружности, расстояние от точки касания до центра окружности равно радиусу окружности. Обозначим радиус окружности как \(r\).

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник AEO, где AE = BF = \(r\), AO = \(s\), и мы можем использовать теорему Пифагора:

\[ AO^2 = AE^2 + EO^2 \]

\[ s^2 = r^2 + r^2 \]

\[ s^2 = 2r^2 \]

\[ r^2 = \frac{s^2}{2} \]

\[ r = \sqrt{\frac{s^2}{2}} \]

\[ r = \sqrt{\frac{5^2}{2}} = \sqrt{\frac{25}{2}} = \frac{\sqrt{50}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} \]

Теперь у нас есть радиус окружности. Мы знаем, что площадь круга вычисляется по формуле \(S_{\text{круга}} = \pi r^2\). Подставим значение радиуса:

\[ S_{\text{круга}} = \pi \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)^2 \]

\[ S_{\text{круга}} = \pi \cdot \frac{50}{4} \]

\[ S_{\text{круга}} = \frac{25\pi}{2} \]

Таким образом, площадь круга, ограниченного вписанной окружностью в данной равнобедренной трапеции, равна \(\frac{25\pi}{2}\) квадратных сантиметров.